Voici ma première idée :

Je suppose qu'il faut l'appâter avec les 3 points, et donc jouer régulièrement Ciseaux, et ainsi l'inciter à jouer Pierre.

Du coup, si simplement je joue Ciseaux au hasard mais avec une fréquence moyenne de 1/4, je pense qu'il jouera facilement Pierre, que l'on pourra vaincre facilement en jouant Puits 3 fois sur 4.

Si il souhaite battre le Puits un peu trop fréquent à son goût en jouant feuille, il prend le risque de tomber sur Ciseaux et perdre ainsi les 3 points tant escomptés !

(Cela dit, en jouant feuille à tous les coups, il me bat... à améliorer donc.)

Si je joue des fréquences de x fois ciseaux, y fois feuille, z fois pierre et (1-x-y-z) fois puits, il faut que quelque soient les fréquences de jeu de mon adversaire pour chaque objet, je le batte globalement.
Si il joue a ciseaux, b feuilles, c pierres et (1-a-b-c) puits, ça donnerait :
Je gagne 1 point dans les cas ciseau/feuille, feuille/(puits ou pierre), puits/(ciseaux ou pierre), donc x*b+y*(1-a-b)+(1-x-y-z)*(a+c)
Je gagne 3 points dans le cas pierre/ciseau soit 3*z*a.
Ce qui me fait une fréquence de points de xb+y-ya-yb+a+c-xa-xc-ya-yc-za-zc+3za=x(b-a-c)+y(1-2a-b-c)+z(2a-c)-a-c=a(1-x-2y+2z)+b(x-y)+c(1-x-y-z)+y

L'objectif est que ce nombre soit supérieur ou égale à son réciproque tout le temps, et donc qu'il soit "indépendant" de a, b et c.

Je laisse là ma réflexion, je la reprendrai plus tard...

Les coups se jouant de façon simultanée et les 2 joueurs ayant les mêmes possibilités, il n'y a pas de stratégie gagnante pour 2 cerveaux équivalents.

Il faudrait donc modéliser le cerveau "pas très matheux, mais très observateur et psychologue" du neveu de Titoufred et celui "pas très sérieux, mais très brillant et multilobés" de Titoufred pour pouvoir attribuer des différences et définir pour Titoufred une stratégie non envisageable pour le neveu... J'attends de voir mais je crains que la solution ne fasse pschittt ou que l'on parte pour 12 pages de joutes logiques !

Salut,

J'ai pas mal de trucs à dire!

Bon généralement sur la méthode:
On exprime le gain du premier joueur en fonction des fréquences de jeu de chaque option des deux joueurs.
On cherche les fréquences de jeu du premier joueur qui maximise le gain min lorsque le second joueur prend les fréquences les mieux adaptée au fréquences du premier joueur.

Bon, après une page assez laide de calcul que je n'ai pas réussi à présenter élégamment je trouve:
P=1/5 F=3/5 C=1/5 U=0
(ou P, F, C et U sont respectivement les fréquences ou on joue pierre feuille ciseau et puits)

Les "erreurs" de l'adversaire:
Dans ce genre de problème il y a souvent un palier de stabilité ou tant que l'adversaire joue dedans il n’aggrave pas son cas.
A pierre papier ciseau normal ce palier vaut toute les stratégies, contre la stratégie optimale il ne peut pas mal jouer.
Au jeu ci dessus il peut mal jouer: s'il joue une proportion de puits non nulle il va perdre légèrement. En revanche s'il joue jamais puits il peut jouer n'importe quelle ensemble de fréquences du reste et ça n'aggrave pas son cas.

Ce n'est pas la stratégie optimale:
(ce chapitre reste valable même si les valeurs que j'ai trouve son fausses:P)
Le but du jeu proposé est d’être le premier joueur qui atteint 50.
Certes en cherchant la façon de jouer une manche qui maximise notre espérance de gain de points on ne sera pas loin de la solution. Mais ce qu'on devrait chercher ce n'est pas cela, c'est la façon de jouer une manche qui maximise notre espérance de probabilité de gagner la partie.
Et ce n'est pas pareil!
Par exemple si le jeu se trouve en position 49/49 (chaque joueur a 49) alors il ne faut plus jouer ainsi, dans ce cas la avoir 1 ou 3 points est d’égal intérêt et on va retrouver la solution du premier problème ou il ne faut jamais jouer pierre.
Un autre exemple qui montre que dans le cas général ce n'est pas pareil c'est d'imaginer qu'on se trouve dans un jeu ou il existe une stratégie qui à coup sur gagne 1 sur une manche et qu'il existe aussi une stratégie qui gagne en moyenne 2 mais avec un gain étalé entre -3 et 3. On voit clairement que dans un tel jeu on pourrait gagner la partie à coup sur en gagnant le 1 certain à chaque manche plutôt que de choisir la stratégie qui donne une meilleur espérance de gains mais pas de certitude.
Ainsi donc la vraie stratégie optimale du jeu proposé prend la forme d'un tableau qui au 50^2 positions de jeu possibles associe le quadruplet de fréquence à adopter Et la faut faire un petit programme par programmation dynamique inverse ou par convergence pour l'exhiber**.  Au feeling on sent bien que pour des positions proches de 0/0 elle prendra la tête de la stratégie ci dessus et qu'un effet de bord va influencer ceci des qu'on sera proche de 49.

PS: J'avais fait ce genre de petit programme pour micro poker II.
Au passage d’ailleurs je file le lien pour micro poker 1 qui est moins stérile que le II et plus amusant à faire!

Bon, j'ai tâché de simplifier :
J'ai fait en sorte de gagner si l'autre joue toujours la même chose, quoi qu'elle soit parmi les 4 options, et j'ai trouvé pour :
a Feuilles
b Puits
c Pierres
d Ciseaux

a+b-d>0
-b-c+d>0
-a+b+3c>0
a-c-d>0

A tâtons j'ai trouvé les fréquences suivantes :

Puits 1 fois sur 24
Pierre 4 fois sur 24
Ciseaux 7 fois sur 24
Feuille 12 fois sur 24

Exact !

Manque de vérifications de ma part. Et du coup, je comprends mieux pourquoi tu précises que mes inégalités sont strictes !

Ça donne :

a+b-3d≥0
-b-c+d≥0
-a+b+3c≥0
a-c-d≥0

Ce qui cette fois-ci impose en bidouillant de : ne jamais jouer Puits, de jouer Pierre autant que ciseaux et Feuille 3 fois plus que ces 2 derniers, donc en proportion :

Feuille : 3/5
Puits : 0/5
Pierre : 1/5
Ciseaux : 1/5

Effectivement, un copier coller un peu rapide ! (J'ai édité et corrigé ce "détail")

La solution qui ne fait jouer aucun puits est surprenante, étant donné que Puits gagne 2 fois sur 3, comme feuille.
En plus, pierre gagne 3 points face à ciseaux mais est joué autant que ces derniers.

Encore une solution contre-intuitive !