Non, c'est bien (p+q+r)²=p²+q²+r², où p, q et r doivent-être exprimé en fonction de a, b et c.

Euh, je ruse :
p=a-a
q=b-b
r=c-c

C'est quoi a, b et c?

Parce que [latex](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2[/latex] si [latex]2(ab+bc+ca)=0[/latex]...

Bonjour,

Soient trois nombres a, b et c (tels que a différent de -b). Si a=-b, alors on échange b et c.

Posons p=a, q=b et r=-ab/(a+b).
Alors (p+q+r)^2 = p^2 + q^2 + r^2

Ca répond à ta question, mais je doute que ce soit la réponse attendue.
Klim.

@shadock : En fait il faut trouver trois nombres exprimés en fonction de a, b et c pour que ces trois nombres vérifient la relation de l'énoncé sans avoir à rajouter de conditions sur a, b et c autre que celle données dans l'énoncé.
Dans ton exemple, si tu calcul (p+q+r)² tu ne trouveras pas p²+q²+r².
(sauf si a,b et c vérifient la condition que tu donne, mais ça tu n'en sais rien, la seule chose que tu sais sur a,b et c c'est que ce sont des nombres distinct deux à deux).

Autrement dit il faut trouver p,q et r en fonction de a, b et c  tels que
(p+q+r)² = p²+q²+r² et ce quelques soit a, b et c vérifiant les hypothèses de l'énoncé.

@nodgim : ça y est j'ai modifié l'énoncé. On est dans R, c'est vrai que je ne l'avais pas précisé.

Déjà, je vais résoudre l'équation (x+y+z)²=x²+y²+z².
[TeX](x+y+z)²=x²+y²+z²[/TeX]
[TeX](x+y+z)²-x²-y²z²=0[/TeX]
[TeX]x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz-x²-y²-z²=0[/TeX]
[TeX]2xy+2xz+2yz=0[/TeX]
[TeX]xy+xz+yz=0[/TeX]
[TeX](y+z)x+yz=0[/TeX]
Cas 1 : [latex]x=(-yz)/(y+z)[/latex] et [latex]y+z\neq0[/latex]. Donc y et z peuvent prendre toutes les valeurs possibles à condition que y+z ne soit pas égal à 0. Dans ce cas particulier, x vaudra toujours (-yz)/(y+z).

Cas 2 : x peut prendre toutes les valeurs possibles : alors [latex]yz=0[/latex] et [latex]y+z=0[/latex] et donc y=0 et z=0.

Et là, pour les fonctions, j'ai une question : est-ce que les fonctions doivent s'appliquer à tous les nombres réels a,b,c ou on peut faire des cas tels que a=0 ou b=0 ou c=0 ?

@titoufred : oui, on pourrait dire ça comme ça, mais la formulation avec les fonctions peut induire aussi un peu en erreur dans le sens où l'on peut avoir par exemple
f(a,b,c) = a + b (c n'est pas utilisé) (cela répond aussi à la question de SabanSureh) .

Je trouve quand même la formulation avec p, q, et r un peu plus lisible.
En fait, ce que je n'arrive pas à faire comprendre c'est que :

L'énoncé N'est PAS : Donnez mois trois nombre p, q et r qui vérifie la relation (p+q+r)² = p² +q² +r².

L'énoncé N'est PAS non plus : Quelles relations doivent vérifié trois nombres p, q et r pour que  (p+q+r)² = p² +q² +r².

En fait voici une autre formulation peut-ếtre un peu plus préçise :
Je vous donne trois nombres a, b et c. La seule chose que vous savez sur ces trois nombres c'est qu'ils sont distinct deux à deux.
En utilisant les trois nombres a, b, c et les opérations élémentaires sur R,
donnez moi trois nouveaux nombres de manière à ce que si j'appelle ces trois nombres p, q et r alors la relation (p+q+r)² = p² +q² +r² est vérifié.

À titre d'exemple, plusieurs personnes ont remarqués que si on avait trois nombres j, k et l tel que  [latex]j+ k\neq 0[/latex] et [latex]l={{-ij}\over{j+k}[/latex] alors on avait la relation
[TeX](j+k+l)^2 = j^2 +k^2 +l^2 [/latex] alors une solution possible est :

[latex]p= a[/TeX]
[TeX]q= -b[/TeX]
[TeX]r= {{ab}\over{a-b}}[/TeX]
Mais ce n'est pas la solution que j'attends, (et ce n'est pas très élégant )
(et en plus elle n'utilise pas le nombre c).

Donc pour essayer d'orienter les recherches vers la solution attendu, je rajoute
la condition d' "élégance" (je sais c'est pas facile à définir )

Les deux mot qui me viennent pour définir l'élégance en mathématiques sont "symétrie" et "élémentaire" (attention élémentaire ne veux pas dire facile )

Bon voilà je ne sais pas trop quoi dire d'autres.
J'espère vous avoir éclairé sur l'énoncé.

Oui ! Bravo Franky1103 ,même si ce n'est toujours pas la solution à laquelle je pense (tu n'utilise pas c).

Mais c'est exactement le genre de truc auquel je m'attend .

Félicitation dylasse, c'est ce que j'avais dans la tête

Je suis d'accord, la notion d'élégance est subjective.
J'ai trouvé que c'était jolie, et j'ai essayé d'en faire une énigme.
Mais je n'ai pas réussi à exprimer clairement ce que j'attendais.
Donc j'ai rajouté certaines contraintes pour orienté les gens vers ce que
j'avais en tête. Je m'attendais un peu à ce qu'il y ait d'autres solutions.

Je crois que j'ai trouvé :
f(a,b,c)=p=-(a²+2ab+b²-c²)/(2(a+b))
g(a,b,c)=q=a+b+c
h(a,b,c)=r=a+b-c.

Voici le résultat que j'avais vu :

Soit [latex]a, b, c[/latex]  trois nombres distinct deux à deux.
Si on pose  [latex]p = {1\over{a-b}}[/latex]  ,  [latex] q = {1\over{b-c}}[/latex]  et  [latex]r = {1\over{c-a}}[/latex]  alors on a :
[TeX]{1\over p} + {1 \over q} + {1\over r} = 0[/TeX]
Si l'on réduit tout au même dénominateur nous obtenons :
[TeX]{{qr+pr+pq}\over{pqr}} = 0[/TeX]
c'est-à-dire que [latex]{qr+pr+pq} = 0[/latex]

et donc   [latex](p+q+r)^2=p^2+q^2+r^2[/latex]

Je pense que j'aurai dû posé l'énigme dans l'autre sens, c'est-à dire donné p, q et r, et demander quelle relation ils vérifient, j'ai hésité entre les deux versions.
L'énoncé au moins aurait été plus clair (mais je débute dans la création d'énigme , ce n'est pas évident, j'ai plutôt l'habitude d'essayer de les résoudre )

En tous cas merci à vous pour votre participation, et bravo à ceux qui ont trouvé des solutions (même si ce n'était pas celle-là )