Proposition



Construction
*** A partir d'un point M choisi sur la balle et à l'aide du compas, on trace un cercle de rayon quelconque sur la balle. Appelons O le centre de ce cercle sur lequel on note 3 points A, B et C.
*** Sur le papier, on reporte le triangle ABC qu'on note A'B'C'. Puis on trace le cercle circonscrit à A'B'C' dont le centre est noté O' (point de concours des médiatrices de A'B'C').
*** On trace par le point O' la perpendiculaire à (A'O'). Cette perpendiculaire coupe le cercle (sur le papier bien sûr ) en E et F.
*** Avec le compas, on reporte la longeur AM sur le papier en A'M' tel que M' soit sur (EF).
*** Par le point A', on trace la perpendiculaire à (A'M'). Cette perpendicualire coupe (EF) en N'.

Démontration:
En considérant N comme l'opposé diamètral de M sur la balle, le triangle MAN est rectangle en A. D'après notre construction, le triangle M'A'N' est rectangle en A'.
MAN et M'A'N' sont égaux puisque A'M'=AM et A'O'=AO.
On en déduit M'N'=MN. M'N' est donc le diamètre de la balle.

Merci Mr Zonou, mon prof de maths en 2nd au lycée de Tsévié en 2002/2003

Alors je propose ça:
On pique la pointe du compas sur la sphère à un endroit qu'on appelera Pole Nord. On trace un cercle assez proche de l'équateur (donc une parallèle). De cette parallèle, on peut construire 2 méridiens qui se coupent, pour repérer le Pôle Sud. A partir des 2 pôles identifiés, on peut dessiner un point sur l'équateur. On a donc à disposition la distance Pôle équateur, qui représente rac 2 fois le rayon. On trace ce rac2 sur la feuille. on peut tracer une perpendiculaire à une extrémité, et de longueur rac2. la diagonale qui relie les 2 extrémités libres des 2 segments perpendiculaires est égale au diamétre de la sphère.

Je n'ai pas vraiment besoin de dessiner l'ensemble des méridiens, mais seulement la partie autour du pole sud, pour l'identifier. ça se construit comme une perpendiculaire sur un plan. Cependant, il restera toujours un petit tracé à faire à main levée pour rejoindre 2 pts proches. Idem pour la recherche d'un point de l'équateur. Ou bien encore me servir du bord de la feuille (qu'on peut avoir rectiligne avec la règle) pour tracer un trait droit sur la sphère.

@gwen27 : oui mais tu n'a pas de pied à coulisse à ta disposition, et un pied à coulisse est un outils très différent d'un compas.

@nodgim : Je ne vois toujours pas comment tu peut tracer un méridien, et je ne suis pas sûr que la géométrie du plan soit la même que la géométrie de la sphère.
Mais tu n'es vraiment pas très loin de la solution (le point dont tu parle n'a pas besoin d'être sur l'équateur).

Un pied à coulisse a deux bras parallèles que tu peut faire coulissé en les gardant parallèles. Avec un outils comme ça je vois très bien comment tu mesure le diamètre d'un cylindre de papier (si il a un minimum de rigidité).
Mais le faire avec un compas ... (ou alors avec une très grande, voir excellente dextérité )

Même avec l'indice 2, j'ai beaucoup de mal.

Bon, on trace un cercle "polaire" sur la balle. On a donc un cercle C de rayon r et la pointe de compas en P. La droite qui traverse le centre perpendiculairement au cercle passe par le centre de la sphère O et aussi par le point opposé à P, Q.
[PQ] est le diamètre recherché, j'imagine.
On reporte l'écartement de compas sur le papier, avec un cercle de centre P' et de rayon r. On choisit un point A'.

[PQ] étant un diamètre, soit A un point du cercle C, alors PAQ forme un triangle rectangle (en A) et [PA]=r.

Là, ça se complique (et ça triche un peu )...

On trouve l'emplacement exact du point Q sur la sphère (je ne sais pas... en posant la boule sur P et en marquant le point le plus haut... en traçant des arcs de cercles successifs depuis des points de C... en demandant à Napoléon !)

Et là tout de suite c'est beaucoup plus facile . On reporte la distance [AQ] au compas sur la feuille en se plaçant sur A', puis on trace la perpendiculaire à [P'A'] en A' (en 3 coups de compas et 2 coups de règle).
Et on obtient 2 intersections qui donnent l'une et l'autre un point Q' possible.

Bon, après cette brillante démonstration, à peine bâclée, il est largement l'heure que je me couche !

@titoufred :Non, non, la droite dont je parle dans le deuxième indice traverse la balle et est orthogonale au plan qui contient le cercle, et passe par son centre.

@fix33 : Pas tout à fait, si tu trace un cercle sur une sphère, et qu'ensuite sans changer l'écartement du compas tu trace un cercle sur une feuille alors le cercle sur la feuille a un rayon un peu plus grand. Et tu n'a pas besoin savoir où se trouve le point Q, mais sinon le début c'est bien parti.
Spoiler : [Afficher le message] Pour reporter (le cercle qui est sur la balle) sur un plan il faut utiliser une petite astuce.

@Jackv : Pas tout à fait, si j'ai bien compris, l'écartement du compas est le côté d'un hexagone régulier, mais à partir de ça je vois comment tu peux avoir R.
(effectivement le triangle est équilatéral )

Un seul point me dérange, comment te places-tu sur un grand cercle de la balle ?

Pigé.
C'est propre.