Bonjour,

Si on oublie a et b, à la question "Quel est le nombre de matchs minimum en fonction de k ?", j'aurais tendance à répondre ( 2 ^ k ) - 1.
Il est nécessaire que chaque joueur ait joué au moins une partie pour qu'on sache quel est son niveau par rapport à au moins un autre des joueurs.

Comment choisir a et b pour que le nombre de matchs soit minimal ?

On obtient le même nombre de points (a points) qu'on gagne contre un joueur de niveau modeste ou qu'on gagne contre un joueur de niveau GM international classé 2800 Elo.
La méthode la plus sûre pour obtenir un classement correct serait de faire jouer chacun des joueurs exactement une fois contre chacun des autres joueurs.
a = 1 point
b = 0 point
Avec k = 2:
  Le premier aura 3 points
  Le deuxième aura 2 points
  Le troisième aura 1 point
  Le quatrième aura 0 point
Mais la vraie question est de savoir si on peut jouer moins de matchs...
Un premier sujet à débattre: Peut-on obtenir un classement correct si un joueur joue moins de matchs que les autres ?
Il semblerait que ce soit difficile.
Si le meilleur joueur, qu'on appellera "n°1", joue N matchs de moins que son challenger, qu'on appellera "n°2", ce dernier aura aN points qui s'ajouteront à son score, ce qui lui permettra de dépasser le score de n°1, à moins que b soit négatif et en valeur absolue supérieur à aN ...
Cela me conforterait dans l'idée qu'il faut que tous les joueurs jouent le même nombre de matchs.

Problème ouvert, peut-être un peu trop ouvert.
Il faudrait déjà qu'on essaie de le résoudre pour k = 3, par exemple.
À suivre...

Oui le problème est trop ouvert. Peut être que l'idée de considérer que b peut être négatif ouvre des portes