Les droites se situent sur un plan incurvé? Du genre non euclidien?

C'est une situation limite, le point ne sera jamais atteint géométriquement parlant. Et pourtant, si on lui donne une vitesse constante, il finira par parcourir 10^9 unités.

Je ne cherche plus à comprendre ce genre de paradoxe.

En théorie par proportion du chemin parcouru sur la première droite, ça marche pour un angle suffisamment petit :

cos(a) +1 = 10^9 sin(a)

Cos(a) = cos(a/2 +a/2) = cos^2(a/2) – sin^2(a/2)
cos(a) = 2cos^2(a/2)-1

On a donc 2 cos^2 (a/2) = 10^9 sin(a)

Sin(a) = sin (a/2 + a/2) = 2 sin(a/2) cos(a/2)

Donc on a :  2 cos^2 (a/2) = 10^9 . 2 sin(a/2) cos(a/2)

On simplifie par 2 cos(a/2) :

cos (a/2) / sin (a/2) = 10^9

Tan (a/2) = 1/10^9
a/2 = atan(1/10^9)

a= 2 atan (1/10^9)
Je dirais que l'angle est donc à peu de chose près de 2.10^-9 rad

Vérification, en développant les triangles :

Bonjour,

Si j'ai bien compris, le trajet d'une droite à une autre est le suivant
alpha étant l'angle formé par les deux droites sécantes.



On passe à la limite pour la somme des cos^n




Du coup, il y a une asymptote verticale à la fonction qui définit la longueur du chemin en fonction de alpha en alpha = 0
Il y a donc bien une valeur proche de 0 qui peut donner un chemin aussi grand que l'on veut, donc pourquoi pas 1E9 !



Avec les approximations aux petits angles




A suivre ....
EDIT

2/α    =    1,00E+09
α    =    2,00E-09



A+

On note [latex]A_1[/latex] et [latex]A_2[/latex] les deux premiers points de touche après A. On obtient finalement une suite de segments dont la longueur décroît toujours du même facteur k. On obtient ainsi la somme des termes d'une suite géométrique.

Cherchons a. On note alpha l'angle aigu délimité par les droites (qui existe car les droites ne peuvent être perpendiculaires). On trouve que celui-ci est égal au sinus de alpha. Ainsi a=sin(alpha)

Cherchons k. k=A1A2/AA1=sin(alpha)/tan(alpha)=cos(alpha)

La somme des termes de la suite représentée par U_n=A_nA_(n+1) est égale à ak^0+ak^1...+ak^n=a(k^(n+1)-1)/(k-1)
Or, n tend vers l'infini, car on finit par rejoindre le croisement des droites, donc la somme égale a/(1-k)=sin(alpha)/(1-cos(alpha))=(1+cos(alpha)/(sin(alpha))

je note alpha x pour simplifier

=(1+cosx)/(sqrt(1-cos²x)
=10^9 selon l'énoncé

ainsi
(1+2cosx+cos²x)/(1-cos²x)=10^18
1+2cosx+cos²x=10^18-10^18cos²x
(1+10^18)cos²x+2cosx+(1-10^18)=0
Une équation simpliste pour wolfram
or cos(x)>0 donc cosx=(10^18-1)/(1^18+1)

L'angle délimitant les deux droites est ainsi égal à 1,9999999999999999993333333333333333337*10^(-9) radians, ce qui est très petit je crois

Promath, c'est Ok, bravo !
Pour la valeur, je ne me suis pas servi de wolfram et je ne suis pas tombé loin du tout....

argh, une erreur de débutant au début, corrigée dans le post initial en principe ...
merci !

NickoGecko, tu n'as pas repris la valeur de AA1 , qui n'est pas tg a.

La distance parcourue le long de la première droite sera de 1 au final.

Sur l'aller-retour que j'ai illustré en vert , je considère juste le rapport entre l'aller-retour vert et la distance parcourue le long de la droite rouge.

Autrement dit 1 + cos a par rapport à sin a (quelle que soit l'échelle)

Vu qu'on aura sur tout le trajet une succession de triangles homothétiques, ce rapport ne variera pas d'un chouilla. Donc si je fixe ce rapport à 10^9 pour un aller retour, il sera consant le temps d'avancer de 1 le long de la droite rouge et d'atteindre le point d'intersection.

On aura parcouru 10^9 unités si (1+cos a) / sin a = 10^9

Mais je ne comprends pas ta question... le trajet réel fait 10^9. Ta question est de savoir si on peut le faire et dans quelles conditions. Oui on peut le faire Après, la formule obtenue est une approximation, mais ce n'est plus la même question.

Francky c'est tout bon.
Pour améliorer l'intuition de cet algorithme, on peut s'y prendre d'une façon légèrment différente et on comprend tout de suite ce qu'il se passe. J'en parlerai dans ma réponse.

Gwen, c'est OK pour ta démarche originale. Dans le corrigé, tu verras qu'on peut vite arriver au résultat sans aucune manip de trigo, mais juste en se servant des assimilations pour les petits angles.

A unecoudée, ton départ est bon, mais il est impossible de compter le nombre d'aller-retour: il est infini !

@une coudée: pour ton X^n, avec X<1, et quand n----->inf, c'est zéro.
Si ça peut t'aider...

Intéressant Vasimolo. Si tu pouvais développer...