Edit ash00

Je disais donc , si je comprends bien le truc que c'est faux, donc on ne risque pas de le prouver. Si l'encadrement est possible pour 4 réels positifs, ce qui reste à prouver, il le sera aussi pour leurs 4 opposés, non ?

La question à poser est plutôt sur quel "intervalle" de [latex]\mathbb{R}^4[/latex] faut-il choisir [latex](x,y,z,t)[/latex] pour que l'inégalité soit toujours vraie?

Le signe "[latex]\Rightarrow[/latex]" ne peut pas signifier "implique" car ce serait faux.

En supposant qu'il signifie "avec", le problème est la définition d'un hypervolume (hypercône) dans [latex]{R_+}^4[/latex], délimité par les hypersurfaces définies par les valeurs 1 et 2 de l'expression.
Cette expression est homogène en x, y, z, t, d'où l'aspect cône.
On est dans [latex]{R_+}^4[/latex] où x, y, z, t >0

Si t est très grand et x, y, z petits, l'expression est > 2, on est à l'extérieur.
Si x=y=z=t, l'expression vaut 4/3, on est à l'intérieur.
Je ne pense pas qu'on puisse avoir moins de 4/3, la seule contrainte est donc "<2".

J'ai compris que le problème consistait à décrire l'hypercône, c'est-à-dire l'hypersurface qui le délimite (car il n'y en a qu'une, pour la valeur 2 !).

J'aurais tendance à faire un changement de repère orthonormé dans [latex]{R_+}^3[/latex],
avec t=constante à choisir (homogénéité) et comme nouvel axe OZ la direction 1, 1, 1.
et peut-être travailler en polaire dans le plan XOY, où je m'attends à une symétrie de révolution ternaire.

Pourquoi pas aussi dans [latex]{R_+}^4[/latex] ?

bonsoir tout le monde
premièrement je te remercie ash00 d'avoir ré-ouvert cette discussion
deuxièmement je vous remercie infiniment mes amis   gwen27 , fmifmi , shadock , Franky1103 , halloduda et  Vasimolo  pour vos explications.
pour l'indice [latex]\Rightarrow [/latex] c'est l'implication
effectivement la question est fausse et on peut prouver comme  vous me répondre soit prenant les opposés des nombres et ça revient à la première expression soit par un contre exemple.
merci.

salut tout le monde
dans le cas ou on a l'implication suivante
[TeX]\forall x,y,z,t : (x,y,z,t)\in\mathbb{R}_+^4[/TeX]
[TeX]1<\frac{x}{y+z+t}+\frac{y}{x+z+t}+\frac{z}{y+x+t}+\frac{t}{y+z+x}<2
[/TeX]
dans ce cas l'implication est juste , mais comment Peut-on prouver ça ?

EDIT MthS-MlndN : merci de couper les formules trop longues pour la mise en page du site (l'outil de prévisualisation permet de se rendre compte si des formules sont trop longues).

merci beaucoup shadock d'avoir répondu à cette question et d’être extrêmement patient

shadock a toujours un mot d'encouragement