Enigme Câble entourant la Terre @ Prise2Tete

Franky1103 · #1

On assimile la Terre à une sphère de rayon R = 6400 km.
On l'entoure d'un câble bien serré au niveau de l'équateur.
On allonge ce câble d'un mètre et on tire dessus en un point.
Il reste dans le plan équatorial mais il est tendu de manière à
décoller au maximum (en ne formant donc plus un cercle).

Déterminer de quelle hauteur le câble décolle, c'est-à-dire h.
La case-réponse valide h exprimé en mètres arrondi à l'entier
supérieur.

Source:
"Enigmes mathématiques corrigées du lycée à Normale Sup'"
écrit par Guillaume et Clément DESLANDES
et préfacé par Cédric VILLANI (s'il vous plait)

Vasimolo · #2

Un grand classique

A peu près ~~300 m~~ 122 m si je me souviens bien .

Vasimolo

Edit : dans la version que je connaissais on ajoutait 4 m de câble .

enigmatus · #3

Bonjour,
Si a est l'angle entre la verticale et le point de tangence du câble (l'origine étant le centre de la terre), on a les relations

Code:

2*R*( tan(a) - a ) = 1
h = R*( 1/cos(a) - 1 )

En utilisant les développements limités de tan et cos, on obtient

Code:

h = (9*R/32)**(1/3) = 121,64 m

gwen27 · #4

Par dichotomie sur l'angle x ou se fait la tangence avec Y la demi longueur de corde tendue :

tan (x ) =Y/R donc

2R tan(x) -2Rx =1

X= (environ) 0,35325706

D'où H = 6 400 000 / cos(x) - 6 400 000
H= 121,6447.... m

Etonnant résultat !

nodgim · #5

122 mètres.

unecoudée · #6

salut.

avec A exprimé en radian et R exprimé en mètre . R = 6400000m

sauf erreur,

h = R . [1/cosA - 1 ] = 121.64 m avec A = 0.0061655 rd

pour trouver l'angle A , on sait que:
involute(A) = tanA - A = 0.5/6400000 = 7.8125 . 10^(-8)
voir les développantes de cercle

par dichotomie , on peut trouver A . puis , connaissant A , on trouve h.

masab · #7

La réponse est h = 121.644733533488... arrondi à 122 mètres.
De la petite géométrie de collège.
x désignant l'angle au centre de l'une des tangentes, x s'obtient comme solution de
2R(tan(x)-x) = 1
h est alors donné par h=R/cos(x) - R.
Voilà !

kossi_tg · #8

Par jeu d'angle et de tangente, on arrive aux relations suivantes:

l=L/2-pi*R+atan(l/R)*R (1)

h=racine(R*R+l*l)-R (2)

où
pi=le nombre réel PI
l= longueur entre le dernier point de contact avec la terre et le point où la corde est tirée
R=6 400 000 m =rayon de la terre
L=longueur totale de la corde = 2*pi*R+1

Un résolution numérique de (1) donne l=39 462.29 m,

Avec (2), on a h=121.66 m

PS: la case réponse valide 122, entier supérieur.

Franky1103 · #9

Que de bonnes réponses ! Ce résultat étonnant valait bien un peu de géométrie !
Mais comment faire sans résolution numérique (mais avec des approximations) ?

kossi_tg · #10

Pour x petit, atan(x)=x-x^3/3-...

En faisant cette approximation dans l'équation (1) on a:

l=L/2-pi*R+(l/R-l^3/(3*R^3))*R

soit l=R*(L/(2*R)-pi)^(1/3)=39459.39

avec (2): h=121.64 m

Franky1103 · #11

Merci à tous pour votre participation.
Il fallait effectivement résoudre: tan(A) – A = L/2R; 2A étant l’angle
d’ouverture de l’arc.
Pour éviter un traitement numérique, A étant petit, on pouvait faire
les approximations suivantes:
tan(A) – A = A³/3 et cos(A) = 1 – A²/2
cos(A) = R/(R+h) => R/(R+h) = 1 – h/R env. => h/R = A²/2 env.
Finalement on trouve: h = (1/2).R^(1/3).(3L/2)^(2/3)
d'où: h = 122 m env.

enigmatus · #12

@Franky1103 #11 : Tu peux encore simplifier ta formule

Code:

h = (9/32*R*L^2)^(1/3)

fix33 · #13

Bonjour,
Je trouve le problème très intéressant, mais je suis agacé de ne pas trouver de solution complète avec fonction de R...
Qu'en est-il de H si R = 1/2pi ?
La fonction est-elle croissante ?
D'avance merci pour tout éclairage !
Fix

Franky1103 · #14

Comme l'angle est "très petit", on a pu faire des approximations sur les fonctions trigo (je crois que ça s'appelle des développements limités).
Si cet angle n'est pas "très petit", alors ça ne marche plus.
La fonction a l'air d'être croissante. Pour R=0, on aurait H=0,5m.

enigmatus · #15

fix33 #13 a écrit:
je suis agacé de ne pas trouver de solution complète avec fonction de R...

On n'a pas une expression générale, car il faut résoudre une équetion qui fait intervenir a et tg(a) (a est le demi-angle des droites joignant le centre de la terre aux 2 points de tangence).

Qu'en est-il de H si R = 1/2pi ?

Le calcul montre que, dans ce cas, h=0,573 m

La fonction est-elle croissante ?

Oui, h varie de 0,50 m (pour R=0) à l'infini (pour R->∞).

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