Enigme Simplification radicale @ Prise2Tete

looozer · #1

Un truc sur lequel je suis tombé récemment en répondant à une énigme du forum, je n'ai pas trouvé immédiatement:

Quelles sont les étapes pour simplifier [latex]sqrt{7-sqrt{24}}[/latex] ?

Oups j'avais fait une faute de frappe!

L00ping007 · #2

Comme [latex](1-\sqrt6)^2 = 1+6-2\sqrt6=7-\sqrt{24}[/latex]

alors [latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\|{1-\sqrt6}\|=\sqrt6-1[/latex]

Vasimolo · #3

Il faut chercher la solution sous la forme [latex]a+b\sqrt{6}[/latex] et on voit très vite que [latex](\sqrt{6}-1)^2=7-2\sqrt{6}=7-\sqrt{24}[/latex] .

Vasimolo

debutant1 · #4

A= (7-(24)^0.5)^0.5
a^2= 7-(24^0.5)

((a^2)-7)^2=24
a^4- 14* a^2 +25 =0

(a^2 - 5)^2 -4*a^2=0
a est racine de
(a^2 -5 - 2a) =0
(a^2-5 + 2a) =0
comme a est légèrement > 2^0,5
a= 6^0,5 - 1

franck9525 · #5

[TeX]\sqrt{24}=2\sqrt6 => 7-\sqrt{24}=1+6-2\sqrt{6}=(\sqrt6-1)^2[/TeX]
[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt6-1[/TeX]

halloduda · #6

Simplifier, peut-être pas, mais l'expression peut s'écrire :
[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt{14}.sin {\Big(\frac {\arcsin {\frac 5 7}} 2}\Big )[/TeX]
En effet, l'expression [latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}[/latex] peut s'écrire [latex]\sqrt7.\sqrt{1-\sqrt{\frac\{\sqrt\frac{49-25} {49}}}[/latex]

Posons [latex]\sin2\theta=\frac 5 7[/latex]
[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt7\sqrt{1-cos2\theta}=\sqrt{14}.sin\theta\quad[/latex] CQFD
----------------------------------------------------------
Trève de plaisanterie

[latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqr6-1[/TeX]
car [latex](\sqr6-1)^2=6-2\sqr6+1=7-\sqr{24}[/latex]

looozer · #7

Bonnes réponses de L00ping007, Vasimolo, debutant1, franck9525.

Bonne réponse aussi de halloduda à la question "comment compliquer l'expression?"
Il est vrai que "simplifier" est parfois une notion relative

scarta · #8

[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}} = \\
\sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = \\
\sqrt{6 -2\sqrt{6} + 1} = \\
\sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = \\
\sqrt{6}-1[/TeX]

SHTF47 · #9

On utilise les identités remarquables:
[TeX]\(a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/TeX]
[TeX]\(a+b)(a-b)=a^2-b^2[/TeX]
On peut remarquer que:
[TeX]\sqrt{7-sqrt{24}}=\sqrt{\frac{(7-sqrt{24})(7+sqrt{24})}{7+sqrt{24}}}=\sqrt(\frac{7^2-\sqrt(24)^2}{7+\sqrt(24)})=\sqrt(\frac{49-24}{1+2sqrt(6)+6})=\sqrt(\frac{25}{(1+sqrt(6))^2})=\frac{5}{1+sqrt 6}[/TeX]
On peut encore simplifier:
[TeX]\frac{5}{1+sqrt 6}=\frac{5(1-sqrt 6)}{(1+sqrt 6)(1-sqrt 6)}=\frac{5(1-sqrt 6)}{1-6}=\frac{5(1-sqrt 6)}{-5}=sqrt 6 -1[/TeX]
Et voila...

Franky1103 · #10

Bonjour,
V(7-V24) = V(1+6-2V6) = V(-1+V6)(-1+V6) = -1+V6
On n'a pas toujours une forme canonique sous la racine.
Je ne pense donc pas qu'on puisse trouver une formule générale.
Bonne journée.
Frank

MthS-MlndN · #11

On essaye d'écrire [latex]7-\sqrt{24}[/latex] comme le carré de quelque chose... C'est en l'occurrence [latex]7-2\sqrt{6}[/latex], on va essayer de l'écrire comme [latex](a+b\sqrt 6)^2[/latex].
[TeX](a+b\sqrt 6)^2 = a^2 + 6 b^2 + 2ab \sqrt 6[/TeX]
Donc soit [latex]a=1[/latex] et [latex]b=-1[/latex], soit [latex]a=-1[/latex] et [latex]b=1[/latex]. On choisit le positif, donc le deuxième.
[TeX]\sqrt{7+\sqrt{24}} = \sqrt{6} - 1[/TeX]

looozer · #12

Que des bonnes réponses! Y compris halloduda qui s'est racheté ;-)

FRiZMOUT · #13

[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}} = \sqrt{6-2\sqrt{6}+1} = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^{2}}[/TeX]
Une racine carrée étant positive :
[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}} = \sqrt{6}-1[/TeX]

Memento · #14

[TeX]x=\sqrt{7-sqrt{24}}
x^2=7-sqrt{24}=6-2sqrt{6}+1=(sqrt{6}-1)^2
x=sqrt{6}-1[/TeX]

gwen27 · #15

rac( 7-rac(24)) = rac ( 1 - 2rac(6) + rac (6) ^2 )

= rac ( (1-rac(6))^2)

= rac(6) -1

Tromaril · #16

on a [latex]7-\sqrt{24}=6-2\sqrt 6 +1=(\sqrt6 - 1)^2[/latex]

d'où [latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt 6 - 1[/latex]

Ca a beau ne pas être compliqué, ça m'a quand même mis les neurones en surchauffe

looozer · #17

Un sans faute pour tout le monde!

Merci d'avoir participé

shadock · #18

halloduda a écrit:
Simplifier, peut-être pas, mais l'expression peut s'écrire :
[TeX]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt{14}.sin {\Big(\frac {\arcsin {\frac 5 7}} 2}\Big )[/TeX]
En effet, l'expression [latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}[/latex] peut s'écrire [latex]\sqrt7.\sqrt{1-\sqrt{\frac\{\sqrt\frac{49-25} {49}}}[/latex]

Posons [latex]\sin2\theta=\frac 5 7[/latex]

[latex]\sqrt{7-\sqrt{24}}=\sqrt7\sqrt{1-cos2\theta}=\sqrt{14}.sin\theta\quad[/latex] CQFD
----------------------------------------------------------

Je ne cache pas que je n'ai rien compris

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#1 - 06-03-2011 20:17:07

somplification radicale

#0 Pub

#2 - 07-03-2011 00:20:29

Simplification ardicale

#3 - 07-03-2011 00:45:17

Simplificaion radicale

#4 - 07-03-2011 07:55:48

iSmplification radicale

#5 - 07-03-2011 08:11:22

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#6 - 07-03-2011 08:56:55

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#7 - 07-03-2011 10:18:47

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#8 - 07-03-2011 10:52:55

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#9 - 07-03-2011 11:38:47

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#10 - 07-03-2011 11:51:47

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#11 - 07-03-2011 13:42:34

Simplification radiicale

#12 - 07-03-2011 22:47:07

Smiplification radicale

#13 - 08-03-2011 00:18:55

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#14 - 08-03-2011 08:45:53

Simplifiication radicale

#15 - 09-03-2011 13:38:55

Simplifiication radicale

#16 - 09-03-2011 14:57:51

Simplification raddicale

#17 - 09-03-2011 20:42:55

simplification radixale

#18 - 12-03-2011 21:32:34

Simplifiction radicale

halloduda a écrit:

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