Encore une idée farfelue ^^

On commence par simplifier en 9 étapes : $\sqrt{9+\frac{125}{27}}$
C'est parti !
$$\sqrt{9+\frac{125}{27}}=\sqrt{9+\frac{5^3}{3^3}}=\sqrt{9+(\frac{5}{3})^3}=\sqrt{\frac{3^5}{3^3}+\frac{5^3}{3^3}}=\sqrt{\frac{3^5+5^3}{3^3}}[/latex] ici petite feinte sinon c'est trop dur on multiplie le numérateur et le dénominateur par [latex]3[/latex] et on obtient [latex]\sqrt{\frac{3*(3^5+5^3)}{3^4}}=\sqrt{\frac{1104}{81}}[/latex] on connecte ces neurones 15 sec et il vient [latex]1104=2^4*3*23[/latex] et [latex]3^4=81[/latex] donc [latex]=\sqrt{\frac{2^4*3*23}{3^4}}=\frac{4*\sqrt{69}}{9}$$
Pour le premier membre on ajoute 3 :
$$3+\frac{4*\sqrt{69}}{9}=\frac{27}{9}+\frac{4*\sqrt{69}}{9}=\frac{27+4*\sqrt{69}}{9}$$
Pour le second membre on soustrait 3 :
$$\frac{4*\sqrt{69}}{9}-3=\frac{4*\sqrt{69}}{9}-\frac{27}{9}=\frac{4*\sqrt{69}-27}{9}$$
Et après on s'amuse comme on peut :
$$\fbox{\frac{(3*(4\sqrt{69}+27))^{1/3}-(3*(4\sqrt{69}-27))^{1/3}}{3}\approx0.99999999999997}$$
La patience et la persévérance sont digne d'un bon scientifique (perso)

cela fait 1

Cette expression ressemble fort au résultat d'une résolution d'équation du 3ème degré à l'aide de formules de Cardan.

Pour rappel: on cherche à résoudre X^3 +aX +b =0
Posons X = u-v, et l'équation trouve une solution pour a=3uv et b=(-u^3+v^3)
Du coup, en posant U = u^3 et V = -v^3, on a UV = -a^3/27 et U+V = -b

U et V sont donc les deux solutions de l'équation du second degré suivante :
x^2 +bx -a^3/27

Delta = b^2+4a^3/27
u^3 = U = (-b -racine(delta))/2 = -(b/2) + racine ( (b/2)^2 + a^3/27)
v^3 = -V = (b + racine(delta))/2 = (b/2) + racine ( (b/2)^2 + a^3/27)
Et u-v nous donne une solution de X^3 +aX +b =0

En prenant b = 6 et a = 5, on retrouve notre expression, au signe près !!
Autrement dit, $\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}$ est l'opposé d'une des solutions réelles de X^3+5X+6 = 0

Là, c'est fastoche: cette équation admet pour solution -1; et une rapide étude de son tableau de variation nous indique que c'est la seule solution réelle.


Conclusion : $\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = 1$

Bonjour,
Je vais utiliser (a-b)3 = a3 - b3 - 3ab(a-b) et on cherche x = a-b
Nous avons a3 - b3 = 3-(-3) = 6 et (ab)3 = 9 + 125/27 - 9 = 125/27
d'où ab = 5/3 ou 3ab = 5 et donc (a-b)3 = 6 - 5(a-b) soit x3 + 5x - 6 = 0
Une solution triviale est x = 1 et je peux donc diviser par x - 1
On a: x3 + 5x - 6 = (x - 1)(x2 + x + 6) = 0
Or le second terme n'a pas de solution réel car le discriminant est négatif:
heureusement d'ailleurs car on aurait sinon une sérieuse anomalie.
Donc x = 1
Bonne journée.
Frank

Soit X=le truc affreux
soit $a = \sqrt{9+\frac{125}{27}}$
soit $b = -3$

alors $X=(a+b)^{\frac1 3}-(a-b)^{\frac1 3}$
$$X^3=(a+b)-3(a+b)^{\frac2 3}(a-b)^{\frac1 3}+3(a+b)^{\frac1 3}(a-b)^{\frac2 3}-(a-b)$$ $$X^3=2b-3[(a+b)(a-b)]^{\frac1 3}[(a+b)^{\frac1 3}-(a-b)^{\frac1 3}]$$
avec $3[(a+b)(a-b)]^{\frac1 3}=5$
$$X^3=6-5X$$
ce qui donne $X=1$

Vous m'expliquez pourquoi MOI il me manque $3*10^{-14}$ ?

Je n'ai pas le temps d'éplucher toutes les solutions mais il me semble que si toutes aboutissent à 1 ( tout le monde a pu vérifier à la calculatrice ) , il y a pas mal de divergences dans les affirmations .

Vasimolo

Passer l'expression au cube "au cas où on retombe sur quelque chose d'exploitable" est une bien jolie méthode

Ouai bah j'ai tapé les deux expressions que je trouvais dans ma calculette et elle ne veut pas afficher 1 cette co**e !