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#1 - 04-02-2015 17:35:27
- titoufred
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prof de logique, logiqur de prof...
Salut, je vous transmets un message posté sur une liste de diffusion destinée aux profs de maths :
"Bonjour à tous,
J'enseigne en BTS SIO pour la première fois cette année, je me suis largement inspiré du wiki et cela m'a été extrêmement utile, j'adresse donc un grand MERCI à tous les contributeurs.
Je vous soumets un problème de logique trouvé sur le wiki que je ne parviens pas à résoudre.
Une table de vérité montre que les deux propositions "(P ET Q) => R" et "(P => R) OU (Q => R)" sont équivalentes.
Mais si je prends un exemple concret, j'arrive à une contradiction.
Par exemple, en prenant : P = "n est multiple de 2", Q = "n est multiple de 5", et R ="n est multiple de 10".
Nous avons "(P ET Q) => R" est VRAIE. Mais par contre "P => R" et "Q => R" sont toutes les deux FAUSSES, donc "(P => R) OU (Q => R)" est FAUSSE.
Je n'arrive pas à repérer mon erreur de raisonnement, pouvez-vous m'éclairer ?
En vous en remerciant par avance,
Cordialement,
XXXXXXXXX XXXX
Professeur en BTS SIO au lycée XXXXXX XXXXXX, XXXXXXX"
#2 - 04-02-2015 18:02:55
- Vasimolo
- Le pâtissier
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prof de logique, logoque de prof...
Il faut faire attention que "n multiple de 2" n'est pas une propriété , il faudrait écrire P(n)="n multiple de 2" .
Si R(n) est faux alors les deux propositions sont clairement vraies .
Si R(n) , P(n) et Q(n) vraies alors les deux propositions sont vraies .
Si R(n) est vraie et P(n) ou Q(n) faux alors alors les deux propositions sont fausses .
Vasimolo
#3 - 04-02-2015 20:39:53
- cogito
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orof de logique, logique de prof...
Bonsoir 
L'erreur est dans l'assertion :
"P => R" et "Q => R" sont toutes les deux FAUSSES
En effet P => R est fausse seulement quand P est juste et R est fausse, c'est-à-dire quand :
a) n est un multiple de deux
c) n n'est pas un multiple de 10.
De même Q => R est fausse quand Q est juste et R est fausse, c'est-à-dire quand :
b) n est un multiple de 5
c) n n'est pas un multiple de 10
Donc pour que les deux propositions "P=> R" et "Q => R" soient fausses en même temps, il faut que :
a) n est un multiple de deux
b) n est un multiple de 5
c) n n'est pas un multiple de 10
Ce qui est impossible. Donc "P => R" et "P => Q" ne seront jamais fausses en même temps et donc la proposition "P=> R" OU "Q => R" est vraie.
En fait ce n'est pas P=> R qui est fausse, mais c'est [latex]\forall[/latex] n, P=> R qui est fausse.
P => R est juste pour certaines valeurs de n et fausse pour d'autre, de même pour Q=> R.
En fait Si on note SP (resp SQ) l'ensemble des entiers tels que P => R (resp. Q => R) est fausse, alors on a SP et SQ qui sont d'intersection vide, et donc il n'y a pas de problèmes.
P.S. : Vive la logique intuitionniste !! 
Il y a sûrement plus simple.
#4 - 04-02-2015 21:56:54
- fix33
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Prof de logique, Logique de prf...
Salut !
L'équivalence est vraie (il suffit de passer de transformer les implications et de simplifier).
La subtilité vient sans doute du fait que P=>R n'est pas fausse pour tout n : "40" est un multiple de 2 implique bien "40" est un multiple de 10, même si ce n'est pas la conception qu'on se fait habituellement de l'implication.
Pour tout entier n :
- n est un multiple de 2 implique n est un multiple de 10
- ou n est un multiple de 5 implique n est un multiple de 10.
A+
Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.
#5 - 04-02-2015 23:03:41
- golgot59
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Prof de logique, Logiqeu de prof...
Salut !
L'erreur de raisonnement est simple je crois :
Dans la table de vérité, si P est fausse et R est vraie on indique que P=>R est vraie, alors que P est fausse !
De même, si "P => R" et "Q => R" sont toutes les deux FAUSSES, cela ne signifie pas que "(P => R) OU (Q => R)" est FAUSSE. Il faut indiquer que c'est vrai !
#6 - 04-02-2015 23:11:44
- Nombrilist
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Prof de logique, Logique de rof...
J'ai vraiment du mal. Je n'arrive pas à voir où son raisonnement est faux. On a (P et Q) <=> R, mais ce n'est quand même pas ça qui pose problème ?
#7 - 04-02-2015 23:12:02
- titoufred
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Prof de logique, Logiqe de prof...
Oui, bravo Vasimolo, cogito et fix !
@golgot : quand P est FAUX, alors P => R est VRAI. cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Implication_%28logique%29
@Nombrilist : (P et Q) <=> R est VRAI, oui tu as raison, et ça ne pose pas de problème non. Cela implique bien que (P et Q) => R est VRAI.
#8 - 05-02-2015 08:15:49
- golgot59
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prof de logique, lpgique de prof...
C'est ce que j'ai écrit Titou, je ne comprends pas ce que tu veux dire...
#9 - 05-02-2015 12:37:37
- titoufred
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prof de logique, loguque de prof...
@golgot : Ah, je pensais que c'est cette phrase qui signalait l'erreur de raisonnement. C'est donc la suivante :
golgot59 a écrit:si "P => R" et "Q => R" sont toutes les deux FAUSSES, cela ne signifie pas que "(P => R) OU (Q => R)" est FAUSSE. Il faut indiquer que c'est vrai !
Non, l'erreur n'est pas là, "A ou B" est FAUX quand A est FAUX et B est FAUX.
Donc si "P => R" et "Q => R" sont toutes les deux FAUSSES, cela signifie que "(P => R) OU (Q => R)" est FAUSSE.
#10 - 09-02-2015 22:44:47
- titoufred
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Prrof de logique, Logique de prof...
Voilà, vous pouvez à présent lire les bonnes réponses de Vasimolo, fix et cogito.
P(n) est un prédicat, dont la valeur de vérité dépend de la variable n.
Pour que ça devienne une proposition, il faut fixer la valeur de la variable, ou employer des quantificateurs, du type "pour tout entier n"...
Ici, l'auteur du mail pensait de façon implicite à "pour tout entier n", mais ce dangereux implicite lui a fait confondre :
pour tout entier n, ((P(n) => R(n)) OU (Q(n) => R(n)))
avec
(pour tout entier n, (P(n) => R(n))) OU (pour tout entier n,(Q(n) => R(n)))
#11 - 10-02-2015 11:18:31
- nodgim
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Prof de logique, Logque de prof...
Perso, j'ai rien compris. Une petite table de vérité ferait le plus grand bien je crois.
#12 - 11-02-2015 08:24:42
- gwen27
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prof de logique, logoque de prof...
Rien compris non plus 
#13 - 11-02-2015 09:15:30
- gwen27
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Prof de logique, Logiqu de prof...
En fait, je viens de comprendre...
Dire que P OU Q => R quand le nombre n'est pas multiple de 2 ET de 5 est FAUX or ce sont les cas ou P ET Q est FAUX aussi.
Ca tient à la table de vérité de l'implication, Tant que P est FAUX, P=>R est VRAI
#14 - 11-02-2015 10:27:01
- nodgim
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prof de logique, logique de ptof...
Merci Gwen, là c'est clair.
Moralité: ne pas faire d'assimilation hasardeuse. Je comprends bien que souvent on en a besoin pour mieux mémoriser une idée, encore faut il qu'elle corresponde bien au problème posé.
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