Enigme Revenons à la géo (niveau **) @ Prise2Tete

SaintPierre · #1

Infos: ABCD est un carré de côté 1 et ABE est équilatéral.
Question: quelle est l'aire de la partie grisée ?

L00ping007 · #2

$\frac{\sqrt3}2-\frac34$
Je prends le repère $(A;\vec{AB};\vec{AD})$
Les coordonnées des points dans ce repère sont :
$A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(0,1) E(\frac12,\frac{\sqrt3}2) F(x,x)$
avec x à déterminer.
On sait que $\vec{EB}$ et $\vec{BF}$ sont colinéaires :
$\vec{EB}(\frac12,-\frac{\sqrt3}2) \vec{BF}(x-1,x)$
donc $\frac{x}2+(x-1)\frac{\sqrt3}2=0$
et $x=\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}$

L'aire de AEF est égale à la différence entre les aires de AEB et AFB
$A(AEB)=\frac{\sqrt3}4 A(AFB)=\frac{x}2=\frac{\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}=\frac{3-\sqrt3}4$
donc $A(AEF)=\frac{\sqrt3}2-\frac34$

debutant1 · #3

calcul des angles du triangle AEF

câe =15°
aêb= 60°
a^fe = 105°

sin15) /FE = sin 60° /AF = sin 105° /AE

FE = (sin15°/ sin105°)*AE
soit h la hauteur issue de F sur AE

h= EF* sin60°

S = AE* h / 2
soit S = (sin15° * sin60° )/2*sin105° =0,116

SaintPierre · #4

Deux solutions différentes pour la même bonne réponse. Bravo à vous deux !

halloduda · #5

Dans le triangle AEF, les angles font 15, 60 et 105°.
$2R=\frac {AE}{sin {\frac {7\pi} {12}}}$ $AE=1$ $EF=2R sin {\frac {\pi} {12}}$ $AF=2R sin {\frac {\pi} 3}$ $S=\frac {abc} {2R}=\frac{sin {\frac {\pi}{12}sin {\frac {\pi} 3}}} {2sin {\frac {7\pi} {12}}}$ $\approx 0.1160254038$

gabrielduflot · #6

si on se place dans le repère (A;AB;AD)
A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) E( ${1\over2};{\sqrt3\over2}$ ) la droite (BE) à pour équation y= $\sqrt3(1-x)$ donc F sera à l'intersection des droites (BE) et y=x donc y= ${\sqrt3}\over{1+\sqrt3}$ donc F( ${\sqrt3}\over{1+\sqrt3}$ ; ${\sqrt3}\over{1+\sqrt3}$ )
donc l'aire grise est ${\sqrt3\over4}-{{\sqrt3}\over{2(1+\sqrt3)}}$ = ${2\sqrt3-3}\over4$

SaintPierre · #7

Halloduda et Gabriel: nickel !

franck9525 · #8

La hauteur en F s'eleve du point H
AH+HB=1
l'angle en A est 45, en B 60
ce qui donne $FG = \frac{3-\sqrt3}{2}$

La surface AEF est donc celle du triangle equilaterale ( $\frac{\sqrt3}4$ ) moins celle de ABF=FGx1/2
ce qui donne $aire(AEF)=\frac{2\sqrt3-3}4$

looozer · #9

En utilisant la trigono :
La hauteur du triangle équilatéral vaut $\frac{sqrt{3}}{2}$
La hauteur en F du triangle AFB vaut $\frac{3-sqrt{3}}{2}$

L'aire grisée vaut l'aire de AEB moins l'aire de AFB soit $\frac{sqrt{3}}{4}-\frac{3-sqrt{3}}{4}=\frac{2sqrt{3}-3}{4}$

Il y a sans doute plus joli...

SaintPierre · #10

Bravo ! Que des bonnes réponses !

fix33 · #11

En terme d'aires :
AEF=AEB-AFB

or AEB=V3/4 (triangle équilatéral)

et AFB=ACB-BFC donc AEF= V3/2 + BFC - ACB

or ACB=1/2

et BFC=1/2(2+V2)
car la hauteur FH=BHsin30°=HCsin45°

Ainsi :

AEF= V3/4 + 1/2(2+V2) -1/2 (je ne vois pas de simplification...)
soit environ 0,0795

Franky1103 · #12

Bonjour,
AEF=ABE-ABF et ABF=ABC-BCF
donc AEF=ABE-ABC+BCF
On sait que ABE=V3/4 et ABC=1/2
Calculons BCF
xF=(3-V3)/2 et donc 1-xF=(-1+V3)/2
d'où BCF=(-1+V3)/4
au final AEF=(-3+2V3)/4
soit environ 0,116
Bonne journée.
Frank

LeSingeMalicieux · #13

L'angle BAF faisant π/4 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABF passant par F est de sin(π/4).
Ainsi, l'aire du triangle BAF est de sin(π/4) / 2

De même, L'angle BAE faisant π/3 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABE passant par F est de sin(π/3).
Ainsi, l'aire du triangle BAE est de sin(π/3) / 2

L'aire de la partie grisée est donc de ( sin(π/3) -sin(π/4) ) / 2

Vasimolo · #14

Allez , sans trigo

Tous les angles en $A$ sont identiques :

Propriété de la bissectrice : $FE.AI=FI.AE$ donc $FE=2-\sqrt{3}$
D'où l'aire grisée : $A=\frac{FE.AI}2=\frac{2\sqrt{3}-3}4$

Vasimolo

SaintPierre · #15

Fix et LeSinge: vous avez tous les deux le même résultat mais non.
Franky et Vasimolo: oui !

LeSingeMalicieux · #16

Parce que j'aime bien apprendre de mes erreurs, si quelqu'un pouvait expliquer (et expliquer également à fix33) en quoi nos raisonnements sont erronés ?

Il est clair qu'il y a une erreur, mais je n'arrive pas à la trouver...

L00ping007 · #17

LeSingeMalicieux a écrit:
L'angle BAF faisant π/4 rad, et BA mesurant 1, alors la hauteur du triangle ABF passant par F est de sin(π/4).

Je ne comprends pas ta conclusion. Je pense que l'erreur est forcément ici, parce que l'autre aire est correcte. Il doit y avoir une particularité au triangle équilatéral qui fait que ton raisonnement est correct pour ABE, mais pas pour ABF.

halloduda · #18

J'aime particulièrement la solution de Vasimolo.
Elle est simple.
Je regrette de ne l'avoir pas trouvée moi-même.

LeSingeMalicieux · #19

Merci pour ton message L00p

Grâce à lui (et donc à toi) je viens de comprendre mon erreur...

J'avais placé la figure dans un cercle trigonométrique, et considéré que la hauteur du triangle ABF, issue de B, valait sin(π/4).

Avec ce dessin, je comprends pourquoi, boulet que je suis, je me suis gourré :

J'ai considéré, comme un benêt, que le point F était situé sur le cercle...

Grosse honte, et gros merci à toi

L00ping007 · #20

fix33 a écrit:
et BFC=1/2(2+V2)
car la hauteur FH=BHsin30°=HCsin45°

Pour fix, je pense qu'il y a un problème sur le sin, c'est pas plutôt un tan ?

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#1 - 06-03-2011 17:16:11

revenons à la géo (niveai **)

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#2 - 06-03-2011 18:14:03

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#3 - 06-03-2011 18:22:56

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#4 - 06-03-2011 18:41:19

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#8 - 06-03-2011 21:15:38

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Revenons à la géo (nivea **)

#10 - 06-03-2011 22:22:46

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#11 - 07-03-2011 08:01:18

Revenns à la géo (niveau **)

#12 - 07-03-2011 09:42:59

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#13 - 07-03-2011 12:01:57

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#14 - 07-03-2011 17:03:09

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#15 - 07-03-2011 17:50:31

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#16 - 11-03-2011 19:11:10

rzvenons à la géo (niveau **)

#17 - 11-03-2011 20:10:55

Revenons à la géo (nvieau **)

LeSingeMalicieux a écrit:

#18 - 11-03-2011 20:26:49

Revenons à la géo (niveau *)

#19 - 11-03-2011 20:28:29

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#20 - 11-03-2011 20:38:20

revenins à la géo (niveau **)

fix33 a écrit:

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