[TeX]\frac{\sqrt3}2-\frac34[/TeX]
Je prends le repère [latex](A;\vec{AB};\vec{AD})[/latex]
Les coordonnées des points dans ce repère sont :
[TeX]A(0,0)
B(1,0)
C(1,1)
D(0,1)
E(\frac12,\frac{\sqrt3}2)
F(x,x)[/TeX]
avec x à déterminer.
On sait que [latex]\vec{EB}[/latex] et [latex]\vec{BF}[/latex] sont colinéaires :
[TeX]\vec{EB}(\frac12,-\frac{\sqrt3}2)
\vec{BF}(x-1,x)
[/TeX]
donc [latex]\frac{x}2+(x-1)\frac{\sqrt3}2=0[/latex]
et [latex]x=\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}[/latex]

L'aire de AEF est égale à la différence entre les aires de AEB et AFB
[TeX]A(AEB)=\frac{\sqrt3}4
A(AFB)=\frac{x}2=\frac{\sqrt3}{2(1+\sqrt3)}=\frac{3-\sqrt3}4[/TeX]
donc [latex]A(AEF)=\frac{\sqrt3}2-\frac34[/latex]

Deux solutions différentes pour la même bonne réponse. Bravo à vous deux !

si on se place dans le repère (A;AB;AD)
A(0;0) B(1;0)  C(1;1) D(0;1) E([latex]{1\over2};{\sqrt3\over2}[/latex]) la droite (BE) à pour équation y=[latex]\sqrt3(1-x)[/latex] donc F sera à l'intersection des droites (BE) et y=x donc y=[latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex] donc F([latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex];[latex]{\sqrt3}\over{1+\sqrt3}[/latex])
donc l'aire grise est[latex]{\sqrt3\over4}-{{\sqrt3}\over{2(1+\sqrt3)}}[/latex]=[latex]{2\sqrt3-3}\over4[/latex]

La hauteur en F s'eleve du point H
AH+HB=1
l'angle en A est 45, en B 60
ce qui donne [latex]FG = \frac{3-\sqrt3}{2}[/latex]

La surface AEF est donc celle du triangle equilaterale ([latex]\frac{\sqrt3}4[/latex]) moins celle de ABF=FGx1/2
ce qui donne [latex]aire(AEF)=\frac{2\sqrt3-3}4[/latex]

Bravo ! Que des bonnes réponses !

Bonjour,
AEF=ABE-ABF et ABF=ABC-BCF
donc AEF=ABE-ABC+BCF
On sait que ABE=V3/4 et ABC=1/2
Calculons BCF
xF=(3-V3)/2 et donc 1-xF=(-1+V3)/2
d'où BCF=(-1+V3)/4
au final AEF=(-3+2V3)/4
soit environ 0,116
Bonne journée.
Frank

Allez , sans trigo



Tous les angles en [latex]A[/latex] sont identiques :

Propriété de la bissectrice : [latex]FE.AI=FI.AE[/latex] donc [latex]FE=2-\sqrt{3}[/latex]
D'où l'aire grisée : [latex]A=\frac{FE.AI}2=\frac{2\sqrt{3}-3}4[/latex]

Vasimolo

Parce que j'aime bien apprendre de mes erreurs, si quelqu'un pouvait expliquer (et expliquer également à fix33) en quoi nos raisonnements sont erronés ?

Il est clair qu'il y a une erreur, mais je n'arrive pas à la trouver...

J'aime particulièrement la solution de Vasimolo.
Elle est simple.
Je regrette de ne l'avoir pas trouvée moi-même.

fix33 a écrit:

et BFC=1/2(2+V2)
car la hauteur FH=BHsin30°=HCsin45°

Pour fix, je pense qu'il y a un problème sur le sin, c'est pas plutôt un tan ?