d'après Al Kashi, et après simplification, nous avons la formule :
3(5^4 + 12^4 + 13^4 + c^4) = (5² + 12² + 13² + c²)²
ou c représente la côté d'un triangle, l'aire étant alors égal à c²*3^0.5*4^-1,
soit en valeur exacte :
aire=[latex]\frac{sqrt3}{4} (169+60 sqrt3)[/latex],
ou en valeur approchée : 118.179 cm².


Les distances 57, 65 et 73 aurait été plus sympa

je recommande l'utilisation de cette jolie formule: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 041#p94304

30 cm

Oui, désolé. Le problème était très classique.

Voici une solution:

Soit ABC le triangle équilatéral de côté a à l'intérieur duquel un point P est situé à des distances 5, 12 et 13 des sommets A, B et C. On constate que les trois entiers 5, 12 et 13 constituent un triplet pythagoricien tel que 5² + 12² = 13². Nous allons donner une solution valable pour tout point P situé respectivement à des distances entières p, q et r des trois sommets A, B et C telles que p² + q² = r².

On trace le triangle équilatéral APQ de côté p tel que AP = AQ = p avec Q et P situés de part et d'autre du côté AB. Les deux triangles ACP et ABQ sont égaux car ils ont le même angle au sommet A (CAP = BAQ = 60° - BAP) compris entre les côtés AC et AP d'une part et les côtés AB et AQ d'autre part qui sont égaux deux à deux. Il en résulte que BQ = r. Comme BP = q et que p² +  q² = r² (par hypothèse), le triangle BPQ est rectangle avec P sommet de l'angle droit.

Soit H la projection de A sur la droite BP. L'angle APH est égal à 180° - 90° - 60° = 30° et le triangle rectangle APH est un demi-triangle équilatéral. Le côté AH vaut p/2 et le côté PH vaut p×racine(3)/2. On en déduit que AB² = a² = AH² + BH² = p²/4 + (q + p×racine(3)/2)² = p² + q² + p×q×racine(3) = r² + p×q×racine(3). Soit S la surface du triangle équilatéral ABC. On a  S = a²×racine(3)/4. D'où S = (r²×racine(3) + 3×p×q)/4.

Application numérique: p = 5, q = 12 et r = 13. S = (169×racine(3) + 180)/4 = 118,179146...