sin (18°) étant un "multiple" rationnel de rac(5) --> 1/4 (rac(5)-1)difficile de l'obtenir comme rapport des deux côtés avec deux nombres entiers.

Joli tir groupé de Gwen et Nodgim

Si vous voulez vous occuper pour le week-end : il m'a montré aussi un heptagone avec les mêmes contraintes

Vasimolo

Soit le pentagone régulier de côté a ... e et b sont donc entiers
je prolonge en traçant des paralellogrammes (trais bleus),
on en déduit que c est entier aussi.
Puis on trace un  trapèze régulier (côtés rouges) et on voit que c étant entier , d doit l'être.
Un simple calcul sur les angles montre que le triangle construit est isocèle (et de côtés entiers)

Donc 2d cos (36°) = e
e/2d est rationnel, pas cos (36°)

Ca ne marche que d=e=0 soit pour un pentagone régulier.

PS  on peut aussi construire le second trapèze pour se convaincre que b=0

salut.

un pentagone équiangle possède 5 angles de 108° .
si je pars d'un pentagone régulier ABCDE avec 5 côtés entiers et que je translate le côté AB  de façon à conserver les 5 angles .
je dois diminuer les côtés BC et DA d'une quantité entière n . Alors il est impossible pour le côté AB de rester entier pour la raison suivante:

appelons z le nombre d'or . z = (V5 + 1)/2 est irrationnel.

et sin18° = m/n = (z-1)/2 est irrationnel  et si n est entier alors m est irrationnel . le côté AB  mesure après translation  AB + 2m  non entier.

salut vasimolo .

mais je m'en suis tenu uniquement au gâteau que ton pâtissier t'a montré .
c'est à dire un pentagone . je n'ai pas attaqué les autres polygones .

En fait toute figure dont le nombre de côté n'est pas premier le permet.

Pour les autres, je ne sais pas même si j'ai l'intuition que c'est impossible.

les angles sont de 108 degres

Aaarrrggghhh !
Lors d'une réunion ennuyante ce matin, j'avais justement pensé à prolonger les côtés du pentagone pour former un triangle. Et là, ça devient plus facile !
On a les relations: x = a / (2.sin18°), et: y = d / (2.sin18°)
De plus: c + y = b + x, ce qui donne: 2.sin18° = (a - d) / (c - b)
Or: 2.sin18° est irrationnel, alors que: (a - d) / (c - b) est rationnel
Donc on ne peut pas construire de pentagone équiangle avec des côtés entiers (sauf bien sûr si: a = b = c = d = e, ce qui donne le pentagone régulier).

Il était amusant ce gâteau , non ?

Ma démonstration étant assez proche de celle de Franky , je vais vous épargner une deuxième lecture .

Un grand merci aux participants

Gwen a levé un lièvre pour les polygones équiangles P à n côtés :

n premier <=> P nécessairement régulier

Une démonstration dans un sens ou dans l'autre ?

Vasimolo

Je pense que: "n premier <=> P nécessairement régulier" n'est pas juste.
Je prends un octogone. Ses côtés entiers sont respectivement a, b, c, d, e, f, g et h
en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre: ils sont parallèles deux à deux:
a//e, b//f, c//g et d//h. J'ai la relation: a.(V2/2)+b+c.(V2/2)=e.(V2/2)+f+g.(V2/2),
ce qui donne: (f-b)/(a+c-e-g)=V2/2, avec un membre rationnel et l'autre irrationnel.
Donc j'ai forcément: b=f, et je peux démontrer par rotation que: a=e, c=g et d=h.
Et l'octogone est forcément régulier, alors que 8 n'est pas premier.
Pour un décagone, il en va autrement et j'ai trouvé une petite astuce, mais cela fait l'objet d'une autre énigme.

Edit: Mon post contredit celui du pâtissier ci-dessus que je viens de lire. Mais le nombre 8 a la particularité de s'écrire 2³ et du coup, on n'aurait qu'un cercle sur le schéma.

Côtés 1 2 1 2 1 2 1 2 par exemple.

Il est juste semi-régulier, si le terme existe...

Pas de problème Franky , seuls ceux qui osent proposer des solutions risquent de se tromper

Vasimolo