Je dirais que le premier voit 207 et que c'est le produit. 208 est la somme.

la somme peut donc être 208 , 72 ou 32
Or, si l'autre voyait un nombre premier + 1 ( 72 ou 32 ) il ne pourrait rien affirmer car  le premier pourrait avoir ce nombre comme produit. La somme est donc bien 208.

Après, on peut examiner les autres cas...
Si par exemple les deux nombres étaient 206 et 2, le produit serait 412.
Les sommes possibles seraient 413, 208 et 107 et aucun de ces nombres ne permet de lever l'ambiguïté.

Idem jusqu'à 104 x 104 , on peut avoir 10816 , 196 ...

En fait, aucun de ces produits n'est un nombre premier +1 et par construction, ils admettent tous une autre décomposition dont la somme est 208. Aucune assurance possible, sauf pour 207 qui ne permet pas d'atteindre 208.

ok

je reprends

1ere hypothèse
Pal dit je ne sais pas
Seb répond : si tu as 208

donc Pal a 208 avec le produit du couple (avec 208x1) (104x2) (52x4) (26x8) et (16x13)
et donc Seb devrait avoir soit la somme des couples 209 106 56 34 ou 29

mais avec l'un de ces 5 nombres il ne peut pas en conclure que Pal à 208
donc

2eme hypothèse
Seb dit je ne sais
Pal répond si tu as 208

Donc PAL sait que Seb devrait avoir la somme du couple (207+1) ou (206+2) ou (205+3) etc
le seul couple qui fonctionne est 207+1

donc Pal a la nombre 207 et Seb 208

je ne sais pas si je suis assez clair, mais pour moi ça l'est

Quels sont les nombres que j’ai fourni à ces deux adorables bambins ?
207 et 1


edit

Oui , mais comment Pal peut-il savoir avec certitude le nombre détenu par Seb ?

Vasimolo

AH oui, m.....
Ce n'est plus très clair dans ma tête

Ah oui si Pal a 207

il pourrait avoir les couples 3x69 ou 9x23 ou 207x1
et donc Seb pourrait avoir la somme 72 32 ou 208 !!

arghhhhhh je craque

Ah oui si Pal a 207

il pourrait avoir les couples 3x69 ou 9x23 ou 207x1
et donc Seb pourrait avoir la somme 72 32 ou 208 !!

Mais avec les sommes 72 et 32, Pal pourrait avoir 71 ou 31 (nombres premiers) donc il connaitrait automatiquement la somme de Seb

Mais sachant que Seb "affirme"
Tu ne peux pas deviner le nombre qu’on m’a confié .

donc il ne reste que le couple 207 et 1

Je vous laisse lire les solutions , tout a été dit ou presque …

Il a été expliqué à plusieurs reprises par exemple par Gwen ou Nobodydy  que le couple S = 208 et P  = 207 fonctionnait à merveille avec un choix initial de 1 et 207 . Vu la réponse de Pal , il est clair que S = 208 est obligatoire mais P = 207 l’est-il autant ? Il y a une justification simple que personne n’a donnée jusqu’à présent .

Un grand merci aux participants

Vasimolo

Vasimolo,
J'aurais aimé que tu donnes la solution complète, je ne suis pas sûr d'avoir bien compris ton dernier message. Et je ne dois pas être le seul.
merci d'avance si tu peux.

Je pensais que la réponse était claire , Seb a 208 et Pal un produit dont il affirme que la somme fait 208 . Pal a récupéré ab ( avec a et b différents de 1 ) alors 1 + ab est une possibilité pour S , s'il affirme que Seb a 208 , ça veut dire qu'il détient nécessairement ab = 208 - 1 = 207 .

Vasimolo

J'ai encore fait un pdf ( ça devient une habitude )

J'ai essayé d'être le plus clair possible mais je sais que c'est difficile de rentrer dans la logique de quelqu’un quand on a un angle d'attaque légèrement différent .

Bonne lecture

Moi aussi, je comprends la démarche, mais je ne suis pas tout à fait d'accord.

On est tous d'accord pour dire que c'est Seb qui parle en premier.
Seb a devant lui 54 choix possibles:
207+1
206+2
...
Il est clair que les 53 derniers choix ne peuvent apporter une quelconque info: Pal dispose d'un nombre composé. Pour faire l'annonce qu'il a faite, Seb ne s'intéresse qu'à (1,207). Si 207 est premier, Seb peut annoncer: "tu connais peut être les 2 nombres" (normalement, c'est plutôt Pal qui aurait parlé en 1er en donnant la solution). Si on suppose que 71 et 31 ne sont pas premiers, Seb aurait fait la même annonce.
L'important dans l'histoire, c'est que Pal sait que, en faisant la même analyse que Seb sur les sommes, Seb ne s'intéresse qu'au couple (1,207). Et donc quel que soit l'annonce de Seb, Pal sait qu'il parle du couple avec 1.

Je vois ça comme ça. Bien entendu, ça ne marche que si la solution comprend 1.

@Nodgim : tu fais trop de spéculations , il faut s'en tenir aux éléments du dialogue , même si Pal détient un nombre premier , il n'y a aucune raison qu'il parle avant Seb

Vasimolo

Non, car le produit aurait été de 615...

Soit une somme de :
616, 208, 128 ou 56

Dans chacun de ces cas, Seb peut affirmer que Pal ne connait pas le produit car ni 615, ni 207 , ni 127, ni 55 ne sont premiers, donc même si Pal a ces nombres, il ne pourra rien conclure.

Alors qu'avec 208, la somme peut être 207 , 72 ou 32 .

Donc, au moment où il dit que Pal ne connait pas son nombre, c'est vrai.
Mais le simple fait de l'annoncer rend l'assertion fausse, ce qui est un peu paradoxal.

Les premières valeurs que j'ai trouvées : 4 , 8 , 9 , 15 , 27 , 32 , 33 , 35 , ...

La suite ne figure pas dans l'OEIS mais il faut dire qu'elle est plutôt artificielle

Vasimolo

Le plus petit couple qui marche est (1,4) , il correspond à une somme 5 et un produit 4 .

Vasimolo