C'est impossible.

Si on donne une parité aux points, un trait de longueur impaire reliera un point pair à un point impair.

On a donc 5 points pairs et cinq points impairs qui restent.

Un trait de longueur paire reliera deux points de même parité.

On ne pourra donc jamais tracer le dernier trait.

@Gwen : oui c'est l'idée
@Golgot : il y a une petite erreur sur ton dessin .

Vasimolo

Il n'y a pas de solution pour 20 parts.
Suite de Langford OEIS A014552

Il n'y a pas de solution pour 20 parts.

Si on numérote les positions successives sur le gâteau de 1 à 20,
les extrémités sont placées en x1, x1+1, x2, x2+2, ...x10, x10+10 toutes distinctes.
La somme des positions des 20 extrémités est égale à
2*somme des xi + 10*11/2, impair
Or elle est aussi égale à 20*21/2 = 210 pair
C'est impossible.

Salut !
Je ne comprends pas : ton gâteau pour 18 personnes compte 23 parts (en tout cas pas 18) !

Bonjour,
En numérotant les points sur la circonférence, on en a 10 de numéro impair, et 10 de numéro pair.
Les bâtons de sucre étant de tailles distinctes, leurs extrémités sont séparées respectivement par 1, 2, ... 10 intervalles (qu'on peut appeler la longueur du bâton).
Pour obtenir une longueur impaire (resp. paire), les numéros des extrémités doivent être de parité différente (resp. même parité).

                            Longueur      Longueur
                            impaire       paire

Points de numéro impair     x x x x x     x-x x-x x
                            | | | | |
Points de numéro pair       x x x x x     x-x x-x x

Le dernier couple de points n'a pas la bonne parité, le gâteau pour 20 personnes n'est pas réalisable.

Un raisonnement analogue montre que :
- on ne peut pas réaliser des gâteaux pour 8k+4 ou 8k+6 personnes
- il est éventuellement possible (sans en être sûr) de réaliser des gâteaux pour 8k ou 8k+2 personnes

J'ai trouvé des solutions pour 2, 8, 10, 16 et 18 personnes.

En numérotant les 20 points de 0 à 19 et en utilisant le même principe pour mesurer les angles orientés d'un cercle, mais on va remplacer modulo 2pi avec modulo 20
La plus grande distance entre deux points est 10 alors on a 10 distances différentes de 1 à 10
Une distance est la soustraction de deux nombres:
Si la distance est paire, ça implique que les deux nombres ont la même parité.
Si la distance est impaire, ça implique que les deux nombres ont une parité différente.
On a 20 nombres tel que 10 sont pairs et les 10 autres sont impairs.
On a 10 distances tel que 5 sont paires et les 5 autres sont impaires.
Une distance impaire va séparer un nombre pair et un nombre impair ce qui implique que 5 distances impaires vont séparer 5 couples (pair/impair)
Une distance paire va séparer 2 nombres pairs ou 2 nombres impairs.
Des 20 nombres du début il nous reste 10: 5 pairs et 5 impairs et il nous reste 5 distances paires, il n y a aucune répartitions des distances paires qui va lier les nombres restants car ces distances ne lient que couples du même parité donc le nombre des nombres pairs ou les nombres impairs doit être pair et puisque 5 est impair c'est impossible.
La réponse est impossible.
Bonne soirée.

Je vous laisse lire les réponses , celle de Gwen résume bien le problème avec peu de moyen , mais les autres ne sont pas inintéressantes .

Merci aux participants .

Vasimolo

Lol, t'es pas tout seul, j'ai moi aussi chercher sans m'apercevoir que c'était impossible !

J'avais bien compris la question, mais je me suis vautré dans la recherche de la preuve de l'existence des solutions. J'aurais dû plus me méfier avec Vasimolo, car souvent ses énigmes trouvent une solution dans la parité...

Au fait, si ça ne marche pas avec des n différents de la forme 8n ou 8n+2, sait on prouver que ça marche tjs dans ces 2 cas là ?

Merci dbab
A vrai dire, je ne comprenais toujours pas le rôle des parts : c'est normal puisqu'elles n'en ont pas !
J'avais imaginé que les traits de sucre délimitaient les parts et je ne comprenaient pas que vous parliez de parité et de nombres entiers pour des longueurs de cordes...
Je vous rassure : la lumière s'est faite et j'ai compris !
Très astucieux de jouer sur la parité en effet !

Moi aussi j'adore me citer moi-même

Oui, j'avais bien lu ton explication, mais, perdu comme j'étais, je n'avais pas compris que les parts n'avaient pas d'importance. Et le "simples décorations" m'a plutôt fait penser que c'étaient les traits de sucre qui n'avaient pas d'importance.
Bref, on mettra ça sur le compte de la rhino que je me tape !