Enigme Petit sujet autour de A + X^2 1/2 @ Prise2Tete

portugal · #1

soit A et X des entiers naturels

pour A donné pour combien de valeurs de X, A + X^2 est un carré parfait ?

Edit : plutôt qu'une démo envoyez moi juste

Nombre de solutions en X pour les Ai suivants :

A1 = 2^0 *3^15 * 7^26 * 13^42
A2 = 2^1 *3^16 * 7^26 * 13^42
A3 = 2^17 *3^16 * 7^26 * 13^42
A4 = 2^18 *3^16 * 7^26 * 13^42

Si vous avez les 4 bons je pense que vous avez pigé !!!

Solution différée de 48 h pour prendre en compte le changement de sujet...

nodgim · #2

C'est plutôt connu.
A+X²=Y²
A=Y²-X²=(Y-X)(Y+X)=pq avec Y=(p+q)/2 et X=(p-q)/2 , p>q.
Si d est un diviseur de A et A/d son complémentaire, (d*A/d=A) il faut et il suffit que d et A/d ait même parité.
Si A est premier autre que 2 , une seule solution: A=1*A avec Y=(A+1)/2 et X=(A-1)/2.

Donc pour un A quelconque, on regarde sa décomposition en facteurs premiers.
A=2^b*p1^c*p2^d....
Si b=0 nombre de X: (c+1)(d+1)....)/2
Si b=1 nombre de X=0
Si b>1 nombre de X: (b+1)(c+1)(d+1)...)/2 - (c+1)(d+1)...qu'on peut réécrire en plus court: (b-1)(c+1)(d+1).../2.

Dans le cas particulier où A est un carré, ajouter +1 aux formules ci dessus.

Une formule générale peut résumer tous les cas de figure:
[Ib-1I(c+1)(d+1)...+1]/2
[] =partie entière et I...I= valeur absolue.

golgot59 · #3

A+x²=y²
y²-x²=A
(y-x)(y+x)=A
donc y>x sinon A<0
si d=y-x : y=x+d d'où y+x=d+2x
d(d+2x)=A
Donc il faut que A soit le produit de 2 entiers de même parité, et il y aura autant de valeur de x qu'il y a de couple d'entiers différents (le couple ne peut pas associer 2 nombres égaux) mais de même parité divisant A !

Exemples :

_A=6=2*3
y-x=2 et y+x=3 pas de solution entière.

_A=8=2*4 une solution :
y-x=2 et y+x=4 -> y=3 et x=1 qui donne 8+1²=3²

_A=32=2*16=4*8 deux solutions !
y-x=2 et y+x=16 -> y=9 et x=7 qui donne 32+7²=9²
y-x=4 et y+x=8 -> y=6 et x=2 qui donne 32+2²=6²

_A=7=1*7 : une solution (4;3)

_A=15=1*15=3*5 : Deux solutions (8;7) et (4;1)

Etc.

Edit : Précision réclamée sur la décomposition de A :

Si A est pair mais que A/2 est impair, il n'y a pas de solution,
Si A=2*2=4 non plus
Dans les autres cas, il existe au moins une solution.

Exemple :
Si A = 2*2*3*3*5*11=1980, alors on peut décomposer A en :
(2; 2*3*3*5*11); 496²-494²=1980
(2*3; 2*3*5*11); 168²-162²=1980
(2*5; 2*3*3*11); 104²-94²=1980
(2*3*3; 2*5*11); 64²-46²=1980
(2*11; 2*3*3*5); 56²-34²=1980 et
(2*3*5; 2*3*11); 48²-18²=1980

je n'ai pas le courage de calculer les nombres de combinaisons si c'est ce que tu attendais

dylasse · #4

Soit A donné, A + X^2 est un carré parfait signifie que il existe V tel que
A + X^2 = V^2, soit A = (V-X)(V+X).

Donc il est nécessaire que (V-X;V+X) soit un couple de diviseurs complémentaires de A.
Comme V et X sont des entiers, V-X et V+X (également entiers) ont même parité, il est donc nécessaire que (V-X;V+X) soit un couple de diviseurs complémentaires de même parité.

Soit (D;F) un couple de diviseurs complémentaires de A de même parité, on pose V=(D+F)/2 et X=(F-D)/2, on a alors, A + X^2 = V^2. C'est donc une condition suffisante.

Donc, N, le nombre de valeur de X cherché est le nombre de couple de diviseurs complémentaires de A de même parité.
Si A est impair, N correspond au nombre de couples de diviseurs complémentaires de A.
Si 2 apparait une seul fois dans la décomposition en facteurs premiers de A, N=0.
Si 2 apparait 2 fois ou plus, ça dépend...

fix33 · #5

C'est le nombre de façons de sommer des nombres impairs consécutifs.
Pour 9 par exemple, on a :
9 = 9 (X = 0)
et
9 = 1 + 3 + 5 (X = 4)
Pour 8, on a : 8 = 3 + 5 (X = 1).
Pour 2, exception, il n'y en a pas.

Je ne sais pas si un nombre peut s'écrire en 3 sommes ou plus de nombres impairs consécutifs...

Edit :
Oui, après plus mûre réflexion, c'est possible...
Si A est impair, on a un nombre impair N de nombres impairs consécutifs, centrés sur l'entier A/N. Cela revient à chercher les diviseurs impairs (inférieurs ou égaux à racine de A).
Si A est pair, on a un nombre pair N de nombres impairs consécutifs, centrés sur l'entier A/N. Idem, on cherche les diviseurs pairs de A.

Pour 225, par exemple, on a :
225 = 225 (X = 0 ; 225 = 225 + 0^2)
225 = 3*75 = 73 + 75 +77 (X = 36 ; 39^2 = 225 + 36^2)
225 = 5*45 = 41 + 43 + 45 + 47 + 49 (X = 20 ; 25^2 = 225 + 20^2)
225 = 9*25 ...

portugal · #6

@nodgim première solution donnée et la mieux rédigée en prime..

edit : désolé @nodgim mais en regardant mieux ta formule est en fait assez fausse...je crois.

Ca ressemble et avec l’éditeur je me suis fait avoir mais en fait pas mal de problèmes à ta réponse qui ressemble beaucoup graphiquement...

@golgot59 exact a un "différent", ou plutôt a une virgule près je ne suis pas certain du sens d'une phrase ambiguë... Je pense que je chipote mais jetez y un œil...Et de plus il serait intéressant de préciser avec la décomposition de A

@dylasse : oui mais il serait intéressant de préciser avec la décomposition de A

@fix33 : pas certain de comprendre la méthode...elle apparaîtra au grand jour et sera ou non comprise par les autres pro d'ici peu.. :=)

portugal · #7

Pour ceux qui ont trouvé, voivi un petit complément qui devrait être un jeu d'enfant...

Quelle condition simple sur A suffit a dire que X solution est plus petit que A/4 ?

dbab3000 · #8

En considérant B tel que A+X²=B²
On a
A=B²−X²
A=(B−X)(B+X)
(B−X) et (B+X) ont la même parité
Alors A doit être un produit de deux entiers qui ont la même parité.
On va considérer un couple les deux entiers qui ont la même parité et leur produit est A.
Donc le nombre de X pour que A+X² soit un carré est égale au nombre de couple.
Pour trouver le nombre X, on doit chercher les couples dans les diviseurs de A, et en trouvant le nombre de couples on va trouver le nombre de X et même ses valeurs.
Exemple
A=64 Les diviseurs de A sont (1,2,4,8,16,32,64)
Les couples sont (2,32),(4,16), (8,8)
On a 3 couples donc 3 valeurs de X
On va chercher la valeur de chaque X
On sait que A=(B−X)(B+X)
Pour le couple (2,32)
B−X=2
B+X=32
B=17 et X=15 pour vérifier 64+15²=17²
Pour le couple (4,16)
B−X=4
B+X=16
B=10 et X=6 pour vérifier 64+6²=10²
Pour le couple (8,8)
B−X=8
B+X=8
B=8 et X=0 pour vérifier 64+0²=8²
Nombre de couple= Nombre de X
Bonne journée.

portugal · #9

@dbab3000 effectivement c'est bien ca même si on peut être un peu plus descriptif sur le nombre de combinaisons.

nodgim · #10

Pour la question complémentaire, on a:
A=pq et x=(p-q)/2
On a intérêt à chercher la plus grosse différence entre p et q. Si A composé, et q=2 on a:
A=2p et x=(p-2)/2<A/4=p/2 est vrai.
C'est donc vrai aussi pour des facteurs plus grands que 2.
Si A impair, on peut avoir A=p*1 et x=(p-1)/2 >A/4=p/4.

Donc si A pair, tous les X sont <A/4. Si A impair, un X est >A/4, les autres <A/4.

golgot59 · #11

J'ai modifié mon post, j'espère que c'est plus clair...

portugal · #12

@golgot59 Plus clair en effet. Maintenant je suis certain que je ne suis pas d'accord avec ce détail (l'esprit est bon)...
Une piste 0 + 9 = ?

@dbab3000 OK pour l'exemple mais un peu minimaliste et peut être conjecturé sans méthode. Donne moi le nombre de solutions pour A = 5760 et on est quitte...

@nodgim 9 n'est pas premier, 4^2+9=5^2 mais 4>9/4 non ?

dbab3000 · #13

5760 possède 48 diviseurs qui sont :
1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 30; 32; 36; 40; 45; 48; 60; 64; 72; 80; 90; 96; 120; 128; 144; 160; 180; 192; 240; 288; 320; 360; 384; 480; 576; 640; 720; 960; 1152; 1440; 1920; 2880; 5760
Les couples sont (2,2880) (4,1440) (6,960) (8,720) (10,576) (12,480) (16,360) (18,320) (20,288) (24,240) (30,192) (32,180) (36,160) (40,144) (48,120) (60,96)
(64,90) (72,80)
On a 18 couples donc on 18 valeurs de X
PS: C'est étrange que tu m'as répondu en 2 parties alors que je n'ai pas modifié mon premier message. Est-ce un problème technique ou tu n'as remarqué l'exemple dans ta première lecture du message?
Bonne soirée.

fix33 · #14

5760 = 2^7 * 3^2 * 5
Il n'y a que les diviseurs pairs qui nous intéressent puisque 5760 est pair.
On a donc : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Mais 128 > racine carré de 5760, donc on l'élimine.
Si je ne me suis pas trompé, il y a donc 6 possibilités pour 5760.

EDIT :
J'ai oublié les diviseurs pairs non unitaires... Je recommence :
2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 60, 64, 72.
Bon, j'en trouve 18, ouf !

Je pense sérieusement que ma solution tient la route.
Cependant, le dénombrement se fait sur les doigts de la main. Du coup, j'aurais peine à répondre aux 4 exemples de très grands nombres que tu proposes.

portugal · #15

@dbab3000
ta réponse = 18 nickel !!! (une bonne indication de vérification pour ceux qui cherchent )

C'est clair que tu as compris l'idée mais il est possible de trouver le nombre de X possibles a travers une formule simple plutôt que de passer par ce comptage fastidieux qui manque je trouve de méthode.

Si je te demande un nombre plus complexe trouveras tu avec ta méthode ?
Par exemple A = 2^18*3^16*7^26*13^42 ? Bon courage pour dénombrer les diviseurs...

au fait @nodgim je viens de réaliser qu'il y a une petite faute dans ta formule de la dernière ligne de ta démonstration (Il y a en fait 2 cas et peut être un typo de ta part). Désolé de l'avoir loupé mais ça ressemblait tellement..Si tu tente de dénombrer le cas A = 2^18*3^16*7^26*13^42 de la question précédente tu verras le problème

edit : désolé mais en regardant mieux ta formule etait en fait assez fausse...je crois

@fix33 : je pense que tu fais fausse route depuis le début...ton résultat semble le confirmer...désolé mais avec tente une nouvelle piste...

portugal · #16

J'ai changé le sujet original pour que ceux qui ont trouvé une direction mais pas une méthode béton, afin qu'ils poussent un peu plus loin...Un bon exemple....vaut mieux qu'une longue démo...

dbab3000 · #17

Je sais que tu ne veux pas de démonstration, je m'excuse mais je vais quand même le faire.
On pose:
Un couple est un couple de deux entiers qui ont la même parité et leur produit est A
P est un nombre pair qui appartient à un couple.
M est le nombre des P
N est le nombre de diviseurs de A
Y est le nombre de valeurs de X
On a A=(2^a)×(3^b)×(5^c)×(7^d)×(11^e)×......

Si A est impair
N=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1)....
Si N est pair
Y=N÷2
Si N est impair
Y=(N+1)÷2
Si A est pair
M=(a−1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1)....
Si M est pair
Y=M÷2
Si M est impair
Y=(M+1)÷2

A1 = 2^0 *3^15 * 7^26 * 13^42
N=16×27×43=18576
Y=18576÷2=9288
Y=9288

A2 = 2^1 *3^16 * 7^26 * 13^42
M=0×17×27×43=0
Y=0

A3 = 2^17 *3^16 * 7^26 * 13^42
M=16×17×27×43=315792
Y=315792÷2=157896
Y=157896

A4 = 2^18 *3^16 * 7^26 * 13^42
M=17×17×27×43=335529
Y=(335529+1)÷2=167765
Y=167765

Bonne nuit.

nodgim · #18

J'ai apporté une correction au message 10, et donner une forme plus simple à la dernière formule du msg 2. Pour cette formule, je n'ai pas trouvé d'erreur. S'il y en a une, c'est que j'ai loupé quelque chose qui m'échappe encore...

unecoudée · #19

salut.

un début de réflexion.

A1 est impair , alors X = (A-1)/2 --> une seule solution

A2 est de la forme A = 2i avec i impair --> aucune solution

A3 et A4 sont de la forme A = 4n , alors X = (A - 4)/4 = n-1 une solution

exemple pour A = 68 = 4 x 17 , X = 17 - 1 = 16 et 68 + 16² = 18²

portugal · #20

@dbab3000
je n'ai rien contre les démonstration bien au contraire...Mais de nombreuses réponses reçues étaient elliptiques et à mon avis bancales (pas la tienne no worry..) donc a travers ces exemples, cela permet d'être certain que la résolution aille à son terme.

Tes formules sont exactes ainsi que les calculs mais ça serait sympa de préciser à quoi correspond"intuitivement" le cas N est pair / N est impair et d'expliquer pourquoi cela change la formule.

@nodgim
Oui pour la question 10 mais toujours pas d'accord ave la 2 : prend le cas A=9. D'après ta formule,, il y a 1.5 solutions...(une qui marche et une qui marche a peu près ? ... ;=) )

@unecoudée
tu as bon pour A2
Faux pour les autres. un contre exemple 9 est impair et admet 2 solutions (0 et 4 qui font 3^2 et 5^2 ) et no pas une comme tu dis

@fix33
C'est bien par ce que je ne veux pas d'une solution "sur les doigts" mais généralisable que j'ai posé ces exemples... !

dbab3000 · #21

Tu me donnes le feu vert pour expliquer, ne regrette pas
Je vais me baser sur le principe nombre de couples= nombres de valeurs de X
Si A est impair
Ça implique que tous les diviseurs sont impairs, alors tous les diviseurs appartiennent à un couple.

Si A n'est pas un carré parfait alors N (nombre de diviseurs) est pair, puisqu'un couple est composé de 2 diviseurs alors Y(nombre de valeurs de X qui est aussi le nombre de couples)=N÷2
Donc Y=N÷2

Si A est un carré parfait alors N est impair puisque √A est un diviseur qui est multiplié par lui même et c'est le seul nombre qui est utilisé deux fois pour former un couple c'est la raison pour laquelle on ajoute un 1 à N (on compte √A 2 fois)
Alors Y=(N+1)÷2

Si A est pair
Un nombre pair peut être le produit de deux nombres pairs ou un nombre pair et un nombre impair.
Un nombre pair et un nombre impair ne peuvent pas former un couple donc on ne peut plus utiliser la même méthode qu'on a utilisé précédemment.
On va considérer P un nombre pair qui appartient à un couple, si on trouve M (le nombre des P) on peut facilement trouver le nombre de couples.
Le couple est formé par 2 nombres pairs ce qui veut dire que A doit être divisible par 4
A=(2^a)×(3^b)×(5^c)×(7^d)×(11^e)×...
A=2²×[2^(a−2)]×(3^b)×(5^c)×(7^d)×(11^e)×...
On pose A'=[2^(a−2)]×(3^b)×(5^c)×(7^d)×(11^e)×...
Le nombre de diviseurs de A'= M (le nombre des P)
M=(a−1)(b+1)(c+1)(d+1)(e+1)....

Si A n'est pas un carré parfait alors M est pair
Donc Y=nombre de couples=M÷2

Si A est un carré parfait alors M est impair, même raisonnement utilisé lorsque A est impair, √A est pair et il est compté deux fois, alors on ajoute un 1 à M
Donc Y=(M+1)÷2

J'espère que j'étais assez clair.
Bonne journée.

portugal · #22

@dbab3000
et bien voila ...et une demonstration pafaite, une !!!
reconnais que ca valait la peine de bien distinguer ce petit cas "parfait", non ?

bravo !!

dbab3000 · #23

Ah j'ai oublié, bienvenue à prise2tête.
Bonne soirée.

nodgim · #24

Oui en effet, je n'avais pas fait attention au cas particulier du carré. J'ai ajouté un complément à la fin pour régler ce cas.

Vasimolo · #25

Bonsoir

Le problème n'est pas difficile mais il faut se montrer méticuleux .

Pour que A=(Y-X)(Y+X)=mn soit une solution il suffit que A , m et n aient la même parité et alors X=(m-n)/2 et Y=(m+n)/2 . A se décompose en facteurs premiers : A = 2^a*p1^a1*p2^a2...pq^aq et on pose B=(a1+1)(a2+1)...(aq+1) .

Si a=0 alors A a B diviseurs , tous impairs donc convenables par symétrie en m et n il y a B/2 ou (B+1)/2 solutions selon la parité de B .

Si a=1 il n'y a pas de solution car m et n sont toujours de parité différente .

Si a>1 alors il faut choisir m et n pair il y a donc (a-1)B diviseurs convenables et donc (a-1)B/2 ou [(a-1)B+1]/2 solutions selon la parité de (a-1)B .

Ce qui donne sauf erreur :

A1->9288
A2->0
A3->157 896
A4->167 765 .

Vasimolo

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#1 - 22-09-2015 23:16:32

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