En lançant 3 pièces de monnaie 20 fois, la probabilité d'obtenir au moins une fois 3 piles est 1-(7/8)^20 soit environ 93,08%.

En lançant une seule pièce 35 fois, la probabilité d'obtenir 3 piles consécutifs au moins une fois est p(35), où p(0)=p(1)=p(2)=0, et ensuite p(n+1)=1/8+p(n)/2+p(n-1)/4+p(n-2)/8 (on a ensuite p(3)=1/8, p(4)=3/16, p(5)=1/4...).

p(35)=32276862265/34359738368 soit environ 93,94%. La méthode avec une seule pièce est donc légèrement plus efficace.

NB : accessoirement, p(35)=1-T(38)/2^35, où T(38) est le 38e nombre de la suite de Tribonacci, avec T(0)=T(1)=0 et T(2)=1.

Dhrm et Gilles: êtes vous sûr de votre résultat pour le 2ème cas ?
Ebichu: c'est parfait. La dernière formule que tu cites m'était inconnue, mais j'en soupçonnais l'existence.

La probabilité d'avoir 3 piles en lançant 3 pièces sur 20 lancers est

  P1 = 1-(7/8)puissance 20,  soit 0,931

La probabilité d'avoir 3 piles de suite sur 35 lancers est

  P2 = 1/8 * Somme de 7/8 puissance 0 à 32 soit 0,988

Voici les maths derriere mes nombres:
Pour le premier cas:
Pour qu'il y ait au moins une chance d'avoir 3 piles, on soustrait de l'ensemble des cas, les cas ou il y a autre chose, soit: \frac{7}{8}^{nombre de jets}

pour 20 jets de 3 pieces differentes:
[latex]1 - (\frac{7}{8})^{20} = [/latex] 0.930791241

pour 35 jets d'une seule piece, on a 33 instances de 3 jets consecutifs:
[latex]1 - (\frac{7}{8})^{33} =[/latex]0.987802643
mais je me rends compte que a chaque nouveau jet, les chances ne sont pas toujours égales...
Donc je corrige pour le deuxieme cas:
1-[latex]\frac{2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(2*(4)-1)-1)-2)-4)-7)-13)-24)-44)-81)-149)-274)-504)-927)-1705)-3136)-5768)-10609)-19513)-35890)-66012)-121415)-223317)-410744)-755476)-1389537)-2555757)-4700770)-8646064)-15902591)-29249425)-53798080)-98950096)-181997601}{2^{35}}[/latex]= 0.939380327
ou encore:
1 - [latex]\frac{2082876103}{2^{35}}[/latex]= 0.939380327


Ce qui donne toujours le 2eme cas plus avantageux.

Ce rapport tend vers ln(x/2)/ln(7/8) où x est la seule racine réelle de x³-x²-x-1 (soit environ 1,839), ce qui fait environ 0,627 ?

nodgim #10 a écrit:

pour une proba identique dans les 2 expériences, que peut on dire du rapport entre le nb de lancers 3 pièces et le nombre de lancers 1 pièce ?

On n'a pas les mêmes probabilités dans les 2 séries de tirages, mais j'obtiens approximativement un rapport de 0,627 (pour environ 2000 lancers de 3 pièces).

Ajouté :
La probabilité est alors de l'ordre de [latex]1-10^{-116}[/latex]

La probabilité d’avoir trois piles est de:

1er cas
P = 1 – (7/8)^20 = env. 93%

2ème cas
P = 1 – P1 – P2, avec:
P1 = probabilité d’avoir alternativement des piles et des faces
P2 = probabilité d’avoir au maximum deux piles consécutifs
P1 = (1/2)^(35-1) est négligeable
Mais pour P2, ça se complique: je repasserai plus tard.

Edit: Je suis repassé, mais toujours bredouille.

Un petit dernier pour la fin
A priori je dirais sans vraiment chercher les subtilités cachées du problèmes qu'il vaut mieux lancer 1 pièce 35 fois.

3 piles lancées 1 fois ==> probabilité d'avoir PPP est de 1/8. Donc pour 20 lancées on aurait 1-(7/8)^20 (=0.931) de probabilité d'avoir le PPP

3 lancées consécutives d'une pièces ==> Proba d'avoir PP est de 1/8 aussi. En 35 lancées, on a 33 triplets consécutifs donc on aurait 1-(7/8)^33 (=0.988) de proba d'avoir PPP.

voilà!

Et moi non plus... merci oeis

Merci aux participants.

Ceux qui ont raté la solution se sont heurtés à la seconde expérience, avec 1 seule pièce.

Voici une explication:
La proba de réussir R1 au bout de 3 lancers: PPP=1/8
Proba R2 de réussir au bout de 4 lancers: FPPP.
le F de début =1/2 mais aussi F=1-4R1. En effet PPP=R1 donc 4R1=P et 1-4R1=F.
R2= (1 - 4R1)/8

Proba de réussir au bout de 5 lancers:
PF PPP
FF PPP

PF ou FF = 1 - (PP ou FP) = 1- (2R1 - 4R2)
R3=(1-4R2-2R1)/8

De même
R4=(1-4R3-2R2-R1)/8

Généralité
Rk = (1-4R(k-1)-2R(k-2)-R(k-3)-...R1)/8

Quand on calcule R(k+1)-Rk on trouve

Rk= R(k-1)/2 + R(k-2)/4 + R(k-3)/8.

C'est facile alors de calculer avec un tableur la valeur de Rk.

Il est à remarquer que R(k+1)/Rk tend vers une limite 0,91... qui est la racine d'une équation de degré 3.

Ebichu a peut être des précisions à donner sur la façon dont il a trouvé la formule générale ?

OK merci pour cette précision.

Tu es sorti sûrement pour ne pas perdre la face.