Bonjour,
j'appelle a et b les dimensions de Legros, c et d les dimensions de Lelong.
on doit donc résoudre le système :
[TeX]\left\{
\begin{array}{rcl}
ab & =& 6cd \\
2(c+d) & = & 12(a+b)\\
c & = & 1\\
\end{array}
\right.[/TeX]
donc on réduit :
[TeX]\left\{
\begin{array}{rcl}
ab & =& 6d \\
2+2d & = & 12(a+b)\\
\end{array}
\right.[/TeX]
on a donc :
[TeX]d=6(a+b)-1[/TeX]
et enfin
[TeX]a = \frac{6-36b}{36-b}[/TeX]
avec un petit tableur, je trouve donc 8 solutions (16 si on considère les solutions symétriques)
a   |    b   |    d
37 | 1326 | 8177
38 | 681   | 4313
39 | 466   | 3029
41 | 294   | 2009
42 | 251   | 1757
46 | 165   | 1265
51 | 122   | 1037
66 | 79     | 869

Shadokpoilu et Gwen, c'est bon.
Shadokpoilu, si tu n'avais pas de tableur, saurais tu retrouver les solutions ?

Si j'appelle a et b les longueurs de Legros, après résolution des équations, j'arrive pour ses longueurs à:
[TeX]b= 6(6a-1)/(a-36)[/TeX]
Très faible en équations diophantiennes, j'appelle DCode à la rescousse.
Pour trouver 8 solutions pour Legros:

37-1236
38-681
39-466
41-294
42-251
46-265
51-122
66-79


Avec pour Lelong les valeurs 1 et:

7622
4313
3029
2009
1757
1265
1037
869

Si je ne me suis pas gouré, ça marche.
Mais je cherche ce qu'il y a bien de remarquable là-dedans

Puisque c'était un peu facile, trouvez une solution telle que Legros soit un carré, largeur/longueur libre pour Lelong (mais tjs cotés entiers), et rapport des aires/périmètres de k entier libre également.

@Enigmatus: k autre que 0 ou 1, bien entendu.

Réécrit en entier:
Legros est un carré à coté entier k fois (k entier>1) plus grand en aire que le rectangle Lelong à cotés entiers, mais Lelong a un périmétre k fois plus long que Legros.
Trouver toutes les solutions.

Sans  l'aide d'aucun programme:
Le long est un rectangle de 1 x a.
le gros un rectangle de n * m
Supposons que le gros soit un carré de coté n=m.
l'aire du gros est donc n*n = 6* a
  a+1 est egal a 6 *( n+n), donc  si on neglige le 1, on obtient n*n = 6 * 6 * 2n
d'ou n*n = 72n, d'ou n=72.
ensuite, on cherche au alentours de 72x72 en essayant 71*73, 70*74, etc...
mais en respectant n*m est un multiple de 6. et (n*m)/6 + 1 est aussi un multiple de 6...

on trouve finalement  un gros rectangle de 66 * 79 et un long de 1 * 869.

Merci et bravo à vous participants qui avez tous trouvé les 8 rectangles possibles.

Je donne ci-après la façon de s'y prendre pour trouver directement les valeurs sans avoir besoin d'aide informatique.

Pour le cas où Legros est un carré, on montre facilement qu'il n'y a pas de solution possible en analysant le discriminant d'une équation classique du second degré.

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A et B sont les cotés de Legros, c et d les cotés de Lelong, k le rapport aire/périmétre.
AB = k*cd
c + d = k (A + B)
AB = kc ( kA+kB-c)
A(B-k²c)=k²cB-kc²
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)

B-k²c doit diviser k^4c² - kc² pour avoir A entier. Tous les diviseurs de k^4c² - k²c conviennent et sont solutions.

Application numérique
c=1 k=6
k^4 c² - k c² = 36² - 6 = 1290 = 2*3*5*43
Il y a 16 diviseurs possibles (2*2*2*2) donc 16 solutions. Comme l'équation AB = kc ( kA+kB-c) est symétrique entre A et B,
il y a 8 solutions qui sont les longueurs et 8 solutions qui sont les largeurs.
ça donne donc 8 rectangles possibles.
Les solutions sont B = 36 + diviseur de 1290. (1,2,3,5,6,10,15,30 pour les 8 plus petits diviseurs)



Il n'y a pas de solutions pour la version "Legros est un carré".
Soit A coté du carré, c et d les cotés de Lelong, k le rapport.
On a les égalités:
A² = kcd
c + d = 2kA
A²=kc(2kA-c)
A² - 2k²cA + kc² = 0
Le discriminant réduit est (k^4)c² - kc²
Pour espérer obtenir une valeur entière, le discriminant doit être un carré.
c² étant déja un carré, il faut k^4 - k carré.
k^4 - k = k (k^3-1) = k ( k-1) (k² + k + 1 )
Les 3 facteurs sont premiers entre eux 2 à 2 (sauf pour k=2 ou 4, mais essai infructueux).
Si k est carré, k-1 ne peut l'être, et vice versa (sauf le cas trivial non autorisé k=1 )
L'expression ne peut donc pas être un carré.

Comment passes-tu de :
A = (k²cB-kc²) / (B-k²c)
à
A = k²c + (k^4c² - kc²)/(B-k²c)  ?



k²cB-kc² = k²c (B-k²c) + k^4c² -kc²

A=k²c (B-k²c)/ (B-k²c) + (k^4c² -kc²)/(B-k²c)

et on arrive au résultat.

Je n'avais pas suivi le problème mais je suis tombé la dessus : http://www.diophante.fr/problemes-du-mo … rectangles

Ce n'est pas tout à fait la même chose mais il y a un air de famille

Vasimolo