Je dirais :

Alice joue un entier aléatoire x parmi [0;250].
Bob joue 4x.
De cette façon, Roger ne fera jamais mieux qu'Alice, au mieux, il peut espérer match nul s'il joue le même entier qu'Alice.

Quant à Roger, il choisit un entier aléatoire parmi [0;250] pour limiter les dégâts : il n'a qu'une probabilité de 1/251 de faire match nul...

Seulement deux ont cherché et trouvé la solution ?  C'est vraiment plus ce que c’était prise2tete

Strategie pour A et B:
L'un des 2 complices joue haut, l'autre joue une fraction du premier.
- supposant que R joue des petits nombres, (pres de 0), on obtient l'equation B= A/5.
- supposant que R joue des grand nombres (dans une limite raisonable), on trouve que pour A max de 1000, B et R on interet a jouer 250, soit B=A/4.
Donc on peut imaginer que pour commencer A joue 1000, B joue 1000/4.5 soit 222, et pour les coups suivants en fonction de ce que R joue, B et A augmentent ou diminuent leur choix ensemble pour chercher a derouter R. B continue a choisir entre 1/4 et 1/5 de A (qu'ils se communique d'une facon ou d'une autre...)

Strategie pour R: rester entre 0 et 250. Essayer d'anticiper le choix de A et B. Mais il sera difficile de contrer une communication entre A et B. Une option serait de jouer autour de 125, mais le success de cette technique ne durera pas.

A une stratégie fixée Alice/Bob il existe des nombres gagnants et d'autres perdants pour Robert.

En pratique il existe un intervalle gagnant pour Robert. Cet intervalle est de dimension variable en fonction des choix de A&B
Par exemple en valeurs arrondies
* pour (A,B)= (1000,0), R est gagnant sur [1;450]
* pour (A,B)= (1000,100), R est gagnant sur [150;350]
* pour (A,B)= (1000,200), R est gagnant sur [230;270]

Après une petite plage stable, l'intervalle gagnant de Robert s’élargit.

En jouant avec les tailles d'intervalle, le couple (400,100) est particulièrement intéressant. B ne peut qu’égaliser (en jouant 100 précisément)

Mais si il egalise, il gagne car il prend 1.5€ pour 1 misé : cette solution n'est donc pas GTO ((game theory optimal))



On doit donc trouver un equlibre GTO  ou (A,B) jouent de manière probabiliste autour de ce point, de manière à ce que meme si R connait leur algo (mais pas le tirage), il n'a l’espérance de gain la plus faible possible (vu du coté de A,B...)


Remarque : il est obligé pour (A,B) d'avoir une strategies probabiliste sinon R peut faire la bonne réponse malgré la faiblesse de son intervalle gagnant)

Je venais de voir le problème et avait trouvé en partie l'astuce autour d'une exemple (voir mon post..) ... arggggh  j’étais pas loin de généraliser... c'est très sympa comme problème.

Merci !