Le pire des pentagones convexes serait un triangle isocèle de côtés 18; 18 et 9 cm (pentagone dégénéré) duquel on pourrait toujours extraire un triangle équilatéral de côtés 9 cm.

D'instinct, je dirais que ça passe. Le cas aux limites d'aplatissement du pentagone est un triangle isocèle 9,18,18 et ça convient toujours, reste plus qu'à formaliser ça

Considérons un côté. Si l'angle à une de ses extrémités est inférieur à 60, l'autre est forcément supérieur, sinon croisement.
Et avec un nombre impair d'angles, on arrive forcément à la conclusion qu'un côté au moins du pentagone fait 2 angles de plus de 60 degrés.
Considérons ce côté, BC, avec les sommets A et D de part et d'autre.
Si les deux angles sont inférieurs à 120 degrés le triangle peut être construit dans ABCD et donc dans le pentagone. Inversement, si les deux sont supérieurs à 120, la figure n'est pas constructible (le pentagone lui-même)
Et si l'un des deux seulement est supérieur à 120, des relations trigonométriques nous donneraient BD, et donc les angles restants en A et D pour le quadrilatère ABCD. Ça marcherait et accessoirement le triangle serait même confiné à ABCD dans tous les cas, mais je suis sûr qu'on doit pouvoir faire plus simple...

Entre 60 et 120, oui, obligatoirement.
Si l'un des deux est > 120, c'est moins trivial d'après ma méthode.

@Scarta : en effet ça marche dans le cas d'un angle inférieur à 120° et d'un supérieur mais c'est un peu lourd avec la trigo : on doit pouvoir s'en passer
@Nodgim : pourquoi n'existe-t-il pas de contre-exemple sans axe de symétrie ?

Vasimolo

On a au moins trois angles supérieurs ou égaux à 60° pour garder la convexité sur les deux autres dont 2 sont donc consécutifs.

On est donc dans ce cas de figure et on regarde si on peut loger le triangle, autrement dit : le cas limite du trapèze (un angle plat pour les 2 derniers côtés ) peut-il empêcher de loger le triangle ?



Or, on sait que pour 2 cercles sécants et un point choisi sur le second cercle, les droites passant par ce point et les points d'intersection des deux cercles détermineront une corde de longueur constante.



Dans notre cas, cette corde est un diamètre ce que l'on peut vérifier en traçant le grand triangle équilatéral.
Pour chacun des angles choisis pour le côté gauche, l'angle plat arrivant sur le second cercle passera donc par le sommet du triangle. Sa longueur sera inférieure ou égale à 2.



On peut toujours loger notre triangle.

J'ai compris la démonstration de Gwen, j'en était arrivé presque jusqu'au bout en suivant la même démarche, mais je n'avait pas poster car je n'avait pas le temps de la finir ce week end, et sur la fin, je n'avais pas remarqué ce très beau résultat de la droite qui touche sans cesse le triangle, je cherchait plutôt à éviter les calculs en placant les triangles contre l'un des deux autres côtés adjacents.
J'essaye de le réexpliquer:
Il est très facile de remarquer que l'on peut trouver deux côtés successifs supérieurs à 60 car il n'y en a pas plus d'un seul dans le pentagone: S'il y en a deux successifs, a 60 degrés, les trois côtés se referment en un triangle équilatéral, en deça, ça se croise, donc pas de pentagone. Sinon, si il y deux angles, alors il sont séparés par un seul angle.
Au cas limite, l'angle entre les deux est plat, et on obtient pile la place de refermer le pentagone si les deux angles sont à 60.

On a donc deux côtés successifs avec un angle de plus de 60.
Si l'on colle un coté du triangle entre ces deux angles, il ne sera pas coupé par les deux côtés adjacents (car ils s'écartent avec un angle trop grand).
La seule possibilité est qu'il soit coupé par l'un des deux côtés opposés.
Pour vérifier ce cas, on prend le pentagone le plus "plat" possible, c'est a dire en prenant l'angle opposé plat. Et ici, Gwen montre que ces deux côtés "frôlent le sommet de notre triangle sans le couper...

Quelques images a l'arrache:

En haut les cas ou les deux angles inférieurs à 60 sont côte  à côte. En premier le cas limite ou ils sont égaux à 60, le deuxième ou ils sont iférieurs. Impossible d'obtenir le pentagone convexe.
Deuxième cas, ils sont séparés par un angle de plus de 60 degrés. En premier cas limite, en deuxième cas quelconque. La encore pas de pentagone...


On place le triangle entre les deux angles de plus de 60 degrés. Pour avoir le cas limite, on aplatit l'angle (en pointillé) On obtient alors la droite qui frôle le triangle

Oui, c'est ce qui est expliqué par Gwen: il ne peut pas être coupé par les deux côtés latéraux, il ne peut donc être coupé que par les deux côtés supérieurs. On peut se limiter à considérer le cas ou l'angle supérieur est plat (sur la figure en pointillé) car c'est la position la plus "plate" possible. Dans cette configuration, Gwen a montré grâce à ces cercles que les deux côtés supérieurs ne coupent pas le triangle, mais passent par son sommet (voir son dernier message)

Réponse au dessin de Vasimolo

Pour la base il faut choisir le segment de gauche

Gwen , sur tes dessins il est clair qu'on case un triangle équilatéral de côté 1 dans un quadrilatère convexe de côtés : 1 , 1 , 1 , 2 . Ce que j'ai du mal à saisir ,  c'est comment tu ramènes le pentagone donné à ce quadrilatère qui serait pénible parmi les pénibles . Je ne mets pas de mauvaise volonté j'ai simplement du mal à voir comment le pentagone suit le mouvement lorsque tu fais basculer ton quadrilatère de gauche à droite .

Vasimolo

OK , Gwen , ça marche , sauf si la partie haute du quadrilatère est inférieure au côté du triangle .

Vasimolo

Quelque chose a dû m'échapper ( je n'ai pas toute ma tête en ce moment ) .



Vasimolo

PS : tu as répondu à ma question , pendant que je la posais