Enigme Bijection @ Prise2Tete

caduk · #1

Bonjour,

On sait que ]0,1[ est en bijection avec R
et que R est en bijection avec R
On en déduit donc que ]0,1[ U N est en bijection avec R.

La question est donc de trouver cette bijection...

On pourra procéder par étapes:
1) Trouver une bijection de ]0,1[ dans R (pour ceux qui ne serait pas tout à fait familier avec le concept)
2) trouver une bijection de ]0,1[ U {0} = [0,1[ dans R
3) et enfin, trouver une bijection de ]0,1[ U N dans R

Pour rappel, une fonction f:A->B est une bijection de A vers B si tout élément de B admet un et un seul antécédent dans A

Bon courage
Indice
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nodgim · #2

Mon Atlas des Mathématiques me dit que la fonction f(x) = (x-1/2) / (x ( x - 1)) convient.
C'est vraiment très classique.

En revanche, ceci l'est moins :

Sur une règle de 1 m, on gradue les décimètres, les centimètres, les millimètres, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Autrement dit, on marque tous les nombres décimaux.
Le nombre V2/ 2 est il marqué ?
Non, puisque ce n'est pas un décimal. D'accord, mais qu'est ce qui manque aux décimaux pour marquer V2/2 ?

caduk · #3

Ca marche pour le 1)
perso j'utilise une autre fonction
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Ca fait sens quand on essaye de tracer une bijection "à la main" de ]0,1[ dans R, la forme rappelle effectivement celle de cette fonction.
mais la fonction choisie ne change pas grand chose à la suite...

Pour les deux questions suivantes, c'est un peu moins trivial, il faut commencer à mettre un peu les mains dans le cambouis, pour "forcer les valeurs supplémentaires à rentrer dans la bijection" ...

Pour ta dernière remarque:
on ne marquera jamais V2/2 puisque l'on ne marquera jamais que des rationnels, et plus précisément si l'on continue à graduer en base 10, seulement les nombres de la forme p/10^n ou p et n sont entiers.
En revanche, on pourra s'approcher autant que l'on veut de V2/2 car Q est dense dans R (et même l'ensemble des p/10^n)

nodgim · #4

La fonction arc tg x ? Peut être, mais il y a aussi la fonction tg(Pi(x-1/2)).
Et sans doute bien d'autre.

scrablor · #5

Joli casse-tête.
1) Très classique : f(x)=(2x-1)/(x-x²)
2) g(0)=0 et, pour x non nul, g(x)=f(x) sauf si f(x) est entier naturel car, dans ce cas, g(x)=f(x)+1.
3) Il va falloir décaler beaucoup plus, je ne me rends pas bien compte encore... mais c'est possible puisque N et N² ont le même nombre d'éléments.
Ça doit être du genre
0 devient 1 qui devient 3 qui devient 6 qui devient 10...
2 devient 4, 7, 11...
5 devient 8, 12...
9 devient 13...
en numérotant à partir de 0 les points de N² par des chemins obliques successifs.
J'ai bon ?

J'ai oublié de préciser :
h(0)=0, si f(x)=0 alors h(x)=1, si f(x)=1 alors h(x)=3, si f(x)=3 alors h(x)=6...
h(1)=2, si f(x)=2 alors h(x)=4, si f(x)=4 alors h(x)=7...
h(2)=5, si f(x)=5 alors h(x)=8, si f(x)=8 alors h(x)=12...
h(3)=9, si f(x)=9 alors h(s)=13...

gwen27 · #6

]0;1[ U N

Si x=1/2^n : f(x) = 1/2^(2n-1)
si x E N : f(x) = 1/2^2x
(ou pour tenir compte de 0, f(x)=1/2^(2x+2) et f(0)=1/2 )

sinon f(x)=x

Sauf erreur, c'est une bijection vers ]0;1[

à laquelle il suffit d'appliquer une fonction du type 1/x+1/(x-1) pour avoir une bijection vers R

caduk · #7

nodgim
bien sûr, en utilisant la fonction tangente; arctangente c'est pour aller de R vers ]0,1[

scrablor
1) très bien
2) très bien
3) ton truc à l'air de marcher, mais ça m'a l'air bien tordu...
Ce serait bien d'avoir les formules permettant de calculer f(n) facilement, et vérifier que toutes tes courbes ne se recoupent pas, mais sinon c'est l'idée. J'ai rajouté un indice pour ceux qui aurait du mal, ça devrait t'aider à trouver plus simple.

gwen
parfait, juste f(0) = 1/4, il ne faut pas le redéfinir (sinon, tu n'auras aucune valeur de f qui vaut 1/4, et f vaudra 1/2 en 0 et en 1/2)

scrablor · #8

Wikipédia me fournit une image (article Ensemble dénombrable) qui explique ma méthode :

Pour tout n naturel, h(n)=n(n+3)/2.
Pour tout x de ]0;1[ tel que f(x)=k naturel, on utilise la bijection réciproque de la fonction de couplage de Cantor pour trouver le couple (p,q) correspondant (avec les notations de l'article de Wikipédia). Alors on pose h(x)=k+p+q+1. Hélas, cette bijection réciproque me semble bien délicate à exprimer...

gwen27 · #9

Si tu regardes bien, 1/2 donne 1/8 (c'est une puissance impaire )

C'est 1 qui donne 1/4.

caduk · #10

scrablor
Effectivement, ta méthode marche, mais on peut faire un peu plus simple... regarde l'indice que j'ai mis, ça devrait peut être te donner des idées...

J'ai toutefois cherché la bijection réciproque de la fonction de couplage de Cantor:
La fonction de couplage de Cantor donne:
f(p,q) = (p+q)(p+q+1)/2
En effet, sur l'axe des abscisses, on lit les nombres triangulaires, soit f(p,0) = p(p+1)/2
on a f(p,q) = f(p+q, 0) + q = (p+q)(p+q+1)/2 + q

Dans l'autre sens,
f-1(n) = ( [ 1 + V(1+8n) ]/2 - 1, 0) si n est sur l'axe des abscisses (cad un nombre triangulaire)
Il suffit donc de ruser un peu pour trouver la formule suivante:
notons X(n) = [ 1 + V(1+8n) ]/2 - 1
notons T(n) = [ (E(X(n) + 1)(E(X(n) + 2) ]/2 , qui est la valeur du nombre triangulaire immédiatement inférieur à n.
On obtient alors f-1(n) = ( X(n) - ( n - T(n) ) , n - T(n) )
Pas très jolie cette bijection réciproque...

caduk · #11

gwen
je ne comprend plus...
f(x) = 1/2^(2x+2) remplace bien f pour x E n ?

si x = 1/2, n = 1 et donc f(x) = 1/2^(2(1)-1) = 1/2
si x = 1, f(x) = 1/2(2(1) + 2) = 1/16

Et dans ce cas, avec f(0) = 1/4, ça marche parfaitement

scrablor · #12

Ah oui !
h(n)=2n
h(x)=f(x) sauf si f(x)=k avec k entier naturel, alors f(x)=2k+1.

caduk · #13

scrablor
parfait

gwen27 · #14

Oui, effectivement, f(0)=1/2, c'était sans la modification, mais ça ne marchait pas, il fallait que je change tout pour mettre les puissances impaire sur N et j'avais la flemme.

caduk · #15

Oui, mais ca ne demandait quasiment aucun changement, tout les entiers prennent les puissances paires, donc il suffisait de décaler (donc 1/2^(2x+2) au lieu de 1/2^(2x) ) et pas besoin de définir une autre valeur en 0...
Pas besoin de forcément mettre les entiers sur les puissances impaires, ça demandait plus de changements...

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