À mon avis, le prof de ton fils n'attend pas une méthode élégante. J'imagine plutôt qu'il attend qu'il teste quelques exemples, puis qu'il cherche par tâtonnement une valeur approchée de la solution ; voire qu'il trace la courbe. L'idée sous-jacente est sans doute de lui faire découvrir ou utiliser la notion de fonction.

Néanmoins, la question de l'existence d'une méthode élémentaire est intéressante, je vais y réfléchir.

Oui, c'est bien ça la solution. J'ai trouvé une solution "élémentaire".

Une fois que tu sais que la solution est L/6 (ce qu'un élève de 3e incomparablement motivé pourrait conjecturer à partir de diverses observations), au lieu de poser "x = côté du carré que tu découpes" avec x dans [0;L/2], tu poses "1/6+x = côté du carré que tu découpes" avec x dans [-L/6;L/3].

On a donc V=(L/6+x)(L-(L/6+x))² ce qui donne après développement 2L³/27 - 4x²(L/2 - x) : on enlève donc à la valeur 2L³/27 un terme toujours positif, ce qui prouve le résultat.

Après, il est clair qu'on n'attend pas ça d'un élève de 3e.

@enigmatus: Très joli raisonnement: simple, astucieux (et juste )

Ebichu #7 a écrit:

Mais cela déplace le problème : peut-on justifier à un élève de 3e que "si la somme de 3 facteurs positifs est constante, alors leur produit est maximal lorsqu'ils sont égaux" ?

Tu as raison d'en douter. Je serais curieux de connaître la solution du professeur de cet élève.

Désolé, mais je ne suis pas encore pleinement satisfait

Ta méthode prouve qu'un parallélépipède dont les trois longueurs ne sont pas égales ne peut pas être un maximum. Mais elle ne prouve pas l'existence d'un maximum...

En fait, ta méthode montre qu'un parallélépipède à trois longueurs différentes, mettons a<b<c, a un volume plus petit qu'un certain parallélépipède à deux longueurs égales, par exemple (a+b)/2 ; (a+b)/2 ; c. Mais ensuite, on obtient seulement que ce parallélépipède à deux longueurs égales a un volume plus petit qu'un autre parallélépipède à deux longueurs égales. Il faudrait pouvoir justifier que tout parallélépipède à deux longueurs égales a;a;b a un volume plus petit que le cube d'arête (2a+b)/3. Ce qui ne me saute pas aux yeux.

Ockham, tu veux dire ?

Je ne suis pas d'accord parce que rien ne dit (hormis l'énoncé) qu'il existe un maximum. Or on peut fabriquer des problèmes pour lesquels aucun maximum n'existe ; par exemple, "soit x dans [0;1[, quel est le maximum de x ?" Donc, si l'élève te demande : "mais comment on sait qu'il y a un maximum", ben t'es mal.

Entendons-nous bien : je préfère la méthode d'enigmatus à la mienne parce qu'on comprend mieux d'où elle sort. Mais j'espère tout de même que tu vois ce qui me dérange dans cette méthode, même avec ton apport.

En prenant les trois dimensions deux à deux et en faisant une sorte de dichotomie, à la fin, les trois valeurs sont égales, non ?

Ebichu, tu restes ancré dans tes connaissances avancées. Mets toi un peu au niveau d'un jeune élève. On s'en fiche du rigoureusement. Ils apprennent à raisonner avec les connaissance à leur disposition.

On verra plus tard à leur montrer que ce n'est pas "strictement" rigoureux. En l'état de leurs connaissances, ça l'est. C'est logique, c'est argumenté, et même si, au final, il y a une faille, c'est exact.

Le théorème des bornes est un truc intuitif qui peut se prouver plus tard...

Ça tombe bien, je suis prof de maths.

Ebichu, tu restes ancré dans tes connaissances avancées. Mets toi un peu au niveau d'un jeune élève. On s'en fiche du rigoureusement. Ils apprennent à raisonner avec les connaissance à leur disposition.

À partir de la cinquième, on initie les élèves au raisonnement déductif, généralement en se basant sur la géométrie (propriétés des quadrilatères par exemple). À cette occasion, on leur apprend la différence entre une conjecture (par exemple, le triangle de dimensions 5, 5, 7 est rectangle) et un résultat démontré (alors que plus tôt dans la scolarité, on se satisfait généralement de l'observation avec les instruments).

En troisième, suivant les cas, le professeur va parfois se contenter de ce que l'élève formule une conjecture, parfois vouloir qu'il ait un argument plus ou moins précis en faveur du résultat, et parfois demander une démonstration complète, sans faille. Il ne faut pas demander systématiquement l'un ou l'autre, il faut varier l'enseignement ! Par contre, quand il y a une faille, il ne faut pas hésiter à le dire aux élèves, cette honnêteté intellectuelle contribue à former l'esprit scientifique : "à notre niveau, on ne sait pas démontrer ce résultat, mais on a l'intuition de sa validité".

On arrive dès la 3e à démontrer des résultats assez avancés, comme par exemple que racine(2) est irrationnel. Alors bien sûr, on n'est pas parti de l'axiomatisation ZF, il y a dans le programme des résultats non démontrés ; mais quand on peut démontrer quelque chose proprement, ce n'est pas plus mal. D'où mon souhait de trouver une démo propre et élégante dans le cadre de ce problème. Mais si on n'en trouve pas ce n'est pas dramatique