1) Il s'agit de la suite OEIS n°A064413 Spoiler : [Afficher le message] http://oeis.org/A064413 Pour n>1, il s'agit du plus petit nombre non présent dans la suite ayant un facteur en commun avec a(n-1).

2) Selon OEIS:
Theorem: (1) Every number appears exactly once: this is a permutation of the positive numbers. Effectivement ils y "passent tous"
Spoiler : [Afficher le message] http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0204/0204011v1.pdf

A064413

Elle est définie par a( 1 ) = 1,
a(2)=2, et pour n>2 par 0 a(n) = le plus petit entier non déjà présent dans la suite et ayant au moins un facteur commun avec a(n – 1).

C'est la séquence EKG (électrocardiogramme)

Pour ce qui est de la deuxième question, ... j'aurais tendance à répondre oui mais sans pouvoir le démontrer... pour l'instant.

1. A064413
2. oui mais je ne cherche pas à le prouver pour le moment

J'ai une démonstration, indice :

Sketch de preuve :
Spoiler : [Afficher le message] Définitions :
Soit S la suite EKG, un nombre appartient à S s'il y figure, un nombre intervient dans S s'il est un facteur d'un nombre appartenant à S.

- Montrer que S est infinie (fastoche)
- Montrer qu'il existe un premier qui intervient infiniment souvent dans S
- Montrer que si un premier intervient infiniment souvent dans S, alors S contient tous ses multiples
- En déduire que tous les entiers appartiennent à S. 

Bah je m'étais dit que ça challengerait certains de chercher une preuve eux-mêmes. On va laisser tomber je crois

Le problème, c'est que quasiment toutes les suites numériques existent déjà sur l'OEIS... Pas évident donc de faire quelque chose de nouveau là-dedans...

Ouais, les suites c'est trop rebattu. Bon, autre chose alors : ici.

MthS-MlndN a écrit:

Le problème, c'est que quasiment toutes les suites numériques existent déjà sur l'OEIS... Pas évident donc de faire quelque chose de nouveau là-dedans...

Par exemple tu peux proposer la suite des suites qui sont sur l'OEIS