Bonjour,
probabilité de gagner une manche:
p = (n^2 - n)/n^2
probabilité pour 1 de gagner:
p + (1-p)(1-p)p  + ... + (1-p)^2n + ... = p1/(1-(1-p)^2) = 2n^2(n^2-n)/(3n^4-2n^3-n^2) qui tend vers 2/3.
Évidemment, ni 1/3, ni 2/3 ne valide la case réponse...

EDIT (correction du calcul de la limite) :

Salut !
Je trouve pour la situation 1 :
Le joueur gagne avec une proba de 0.5^2+3*0.5^4+5*0.5^6... dont la limite fait 5/9.
Le joueur 2 avec une proba de 2*0.5^3+4*0.5^5+6*0.5^7... dont la limite fait logiquement 4/9.

Le reste... Je galère !

Bonsoir,
Voici ce que j'obtiens :

Pour N=2 : P = 5/9          = 0.555556
Pour N=6 : P = 70993/117649 = 0.603431

oui, c'est  (n^2 - n)/2n^2, j'ai oublié le 2, mais je l'avais pris en compte dans mon calcul...
Mais en fait j'avais mal lu l'énoncé, je n'avais pas compris que le 3ème lancer était comparé au 2ème, je pensais que c'était un système de manches, je regarde ça plus tard...

@enigmatus la formule est bonne.
Par contre, je dirais plutôt un rationnel qu'un réel dans ton analogie (sinon R serait dénombrable )
Je me demande d'ailleurs si formellement ça change quelque chose ou pas avec un réel. Faudrait que je vérifie.

Bravo à ceux qui auront trouvé 1/e comme limite.
On peut utiliser les chaines de Markov, ou pas. Pour ceux qui ne connaissent pas, voici la méthode calculatoire.

J'ai un dé à 6 faces.
La probabilité de gagner, sachant que je viens de tirer 6, vaut: p = 5/6 + (1-p)/6
Explication: j'ai 5 chances sur 6 de gagner, ou bien l'adversaire peut faire 6 aussi, et aura lui-même une probabilité p de gagner, donc moi de 1-p.
Résultat: p = 6/7
La probabilité de gagner, sachant que je viens de tirer 5, vaut: p = 4/6 + (1-p)/6 + 1/7 * 1/6
Explication: j'ai 4 chances sur 5 de gagner, ou bien l'adversaire peut faire 5 aussi, et aura lui-même une probabilité p de gagner, donc moi de 1-p; il peut enfin faire 6 et avoir une probabilité 6/7 de gagner, donc moi de 1/7.
Résultat: p = 36/49 = (6/7)²

Tiens, tiens...
En continuant, on voit que les suivants sont (6/7) puissance 3, 4, 5 et 6

On va généraliser. J'ai un dé à n faces
Proposition: La probabilité de gagner sachant que je viens de tirer k est [latex](\frac{n}{n+1})^{n+1-k}[/latex]
Démonstration, par récurrence "à l'envers"
- pour k = n, on a une probabilité [latex]p = \frac{n-1}{n} + \frac{1-p}{n}[/latex], d'où [latex]p = \frac{n}{n+1}[/latex]
- si la proposition est vraie pour toute valeur entre k+1 et n, montrons qu'elle l'est pour k.
[TeX]p = \frac{k-1}{n} + \frac{1-p}{n} + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-k}(1-(\frac{n}{n+1})^{i})[/TeX]
Explication: k-1 chances sur n de gagner, 1-p si l'adversaire tire k aussi, et 1-p' pour chaque p' (déjà calculé) de k+1 à n
[TeX]n.p = k-1 + 1-p + \sum_{i=1}^{n-k}(1-(\frac{n}{n+1})^{i})[/TeX]
[TeX](n+1).p = k + n - k - \sum_{i=1}^{n-k}((\frac{n}{n+1})^{i})[/TeX]
[TeX](n+1).p = n - \frac{n}{n+1}\frac{1-(\frac{n}{n+1})^{n-k}}{1-\frac{n}{n+1}}[/TeX]
[TeX](n+1).p = n - n + n (\frac{n}{n+1})^{n-k}[/TeX]
[TeX]p = (\frac{n}{n+1})^{n-k+1}[/TeX]
CQFD

Donc, la probabilité de gagner sachant que j'ai tiré un k est de [latex](\frac{n}{n+1})^{n-k+1}[/latex]

La probabilité de gagner, tout court, est, au choix
1) [latex]\sum_{k=1}^n{\frac{(\frac{n}{n+1})^k}{n}}[/latex]
[TeX]= \frac{1}{n+1}.\frac{1-(\frac{n}{n+1})^n}{1-\frac{n}{n+1}}[/TeX]
[TeX]= 1-(\frac{n}{n+1})^n[/TeX]
2) autre option, plus jolie: si je commence, c'est comme si l'autre avait tiré 1 juste avant. La probabilité qu'il gagne dans ce cas est de [latex](\frac{n}{n+1})^n[/latex] comme on l'a vu plus haut, donc la probabilité qu'il perde, et que je gagne, vaut [latex]1-(\frac{n}{n+1})^n[/latex]

La probabilité pour que celui qui ne commence pas gagne est donc [latex](\frac{n}{n+1})^n[/latex].

Pour un pile-ou-face, ça nous donne 4/9.
Pour un dé, 46656/117649, soit 39% à peu près.

Et enfin, la limite de [latex](\frac{n}{n+1})^n[/latex] étant [latex](\frac{1}{e}[/latex], la probabilité du joueur 2 de gagner tend vers 36,7879%

Bastidol a écrit:

Je garde des probabilités un mauvais et lointain.souvenir

Ce n'est pas de chance…

Bastidol a écrit:

Bonjour les matheux,

Désolé de ne pas participer.
Pour moi ce n'est pas un cadeau.
Je garde des probabilités un mauvais et lointain.souvenir 

+1

Bon j'en avais un autre sur le feu, ça fait moitié probabilités et moitié logique. Ça en fera pour tous les goûts.
Je finis d'écrire l'énoncé et ça sera prêt