Montrons d'abord que g est bijective :

injective
Soient x,y tels que g(x)=g(y)
En composant par g, on a alors gog(x)=gog(y), cad -x=-y, donc x=y

bijective
Soit y dans R. On veut trouver x tel que y=g(x)
Prenons x=-g(y)
Alors -x=g(y), donc g(y)=gog(x)
Par l'injectivité, on a y=g(x)

g étant bijective, on peut définir sa réciproque $g^{-1}$
On compose par $g^{-1}$
$$g^{-1}ogog(x)=g^{-1}(-x)$$
donc $g^{-1}(-x)=g(x)$
En appliquant la relation de l'énoncé à $g^{-1}(x)$ :
$$gogog^{-1}(x)=-g^{-1}(x)$$
donc $g(x)=-g^{-1}(x)$
On en déduit que $g^{-1}$ est impaire, donc $g^{-1}(0)=0$, et avec les relations précédentes, g(0)=0

g(0)=0
(et accessoirement g est impaire en plus d'être bijective)

Ca m'a rappelé les colles en prépa

Là, comme ça, j'ai envie de répondre g(0) = 0...
Mais je ne suis pas encore convaincu qu'une telle fonction g existe... à part la fonction constante g(x) = 0 pour tout x réel.

Soit a=g(0),
Alors g(a)=gog(0)=-0=0, puis :
gog(a)=gog(g(0))=-g(0)=-a
gog(a)=g(0)=a

donc, a=-a, puis a=0

g(0)=0

D'ailleurs une telle application peut-elle être continue ? Sachant que j'ai déjà montré qu'elle était bijective...
La réponse est non, pour des raisons de monotonie, donc du coup je me demande bien quelle tête peut avoir une telle fonction !

Appelons $a$ la valeur $g(0)$.

Alors $g(a) = g(g(0)) = -0 = 0$

Intéressons-nous alors à $gog(a)$ :
D'une part $gog(a) = g(g(a)) = g(0) = a$
D'autre part $gog(a) = -a$ (par définition)

Seule possibilité pour $a$ : g(0) = 0

La fonction est impaire et définie en 0; elle est donc nulle pour x=0.

Bon.
Pour tout x de R, si g(x)=y alors g(y)=-x
Ce qui peut s'écrire aussi : g(x)=g-1(-x)

Avec les nombres imaginaires je trouverais une fonction : g(x)=ix.
Mais dans R je ne trouve rien.

D'un point de vue géométrique, si un point appartient à la courbe de g alors le point issu de la composition d'une symétrie orthogonale selon l'axe y=x et d'une symétrie selon l'axe x, soit une rotation anti-horaire de 90° de centre O (intersection des 2 axes de symétrie) appartient également à cette courbe.
Donc si (x,y) appartient à la courbe, les résultats de la rotation de 90°, 180° et 270° aussi.

Est-ce qu'une telle fonction de R dans R (bijective et tout) existe ? Je ne sais pas.
Il me semble qu'une telle fonction ne peut pas être continue.
Toujours est-il que g(0)=0 faute de quoi la courbe posséderait 2 points symétriques selon l'axe x pour x=0, ce qui est contraire à la définition d'une fonction.

Ce qui m'amène à une réponse beaucoup plus rapide à la question :
Si g(0)=k alors g(k)=0.
Or g(g(k))=-k d'où g(0)=-k.
Pour une fonction g : on aura donc k=-k, d'où g(0)=0 !