F(x)=-x est une solution , mais ça m'étonnerais que ce soit la seule

Vasimolo

S'il s'agit d'une application linéaire, j'ai bien 2 réponses qui me viennent à l'esprit
[TeX]f(x) = -x[/latex] et
[latex]f(x) = \frac{2-\frac{2}{^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}+^3\sqrt{17+3\sqrt{33}}}{3}x[/TeX]

Je sèche pas mal...
On peut trouver f de la forme f(x)=a.x avec a vérifiant a^4-a^3=2.
ça donne 2 solutions a1=-1 et un a2:nombre entre 1,5 et 1,6.

Sinon, je ne sais pas s'il y a d'autres fonctions vérifiant l'équation de ton énoncé.
En tout cas une telle fonction doit être nulle en zéro.

Edit:
Après réflexion, il y a une infinité de fonctions qui vérifient ton équation.
Soit I un intervalle de R de la forme [-r,r] ou ]-r,r[ avec r dans [0,infini].
Alors la fonction f:R->R telle que:
f(x)= -x si x dans I
et f(x)= a2.x sinon,
vérifie l'équation.

Re-édit:
On peut même avoir des fonctions plutôt étranges comme solution:
par exemple si on prend f telle que:
f(x)=a2.x si x appartient à Q(a2) (le corps engendré par a2)
et f(x)=-x sinon.

D'où vient ton énoncé?

pour l'instant
supposons qu'il y aun élément neutre n

fofofof(n)=n=fofof(n)=+2n=n+2n

soit n= 3n
n=0 et f(0)=0

étudions f(x)= ax
fofofof(x)=a^4  * x =fofof(x)+ ax =a^3 * x +2x

a^4 *x - a^3 * x -2 =0

si b racine de l"équation donne
fx)= b*x donne des fonctions demandées

a= -1 est une solution
f(x)= -x est donc une fonction demandée

(a+1) (a^3 -2*a^2 + 2* a  -2) =0
il faut résoudre l équation

X^3 - 2*X^2 + 2* X  -  2 =0

j'en ai trouvé déjà deux :
f(x)=ax, avec a une des deux solutions de l'équation x^4-x^3-2=0 (-1 en fait partie)