Je trouve $\arccos(\sqrt 3 - 1)\approx 43^{\circ}$

Si on suppose que $AB=AC=1$, alors $AH=\cos a$ et $CH=\sin a$.

De plus, $BC^2 = HB^2 + HC^2 = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a$, et on veut $BC=AH=\cos a$.

On développe l'équation :
$$\left(\cos^2 a = (1-\cos a)^2 + \sin^2 a\right)$$
$$\equiv \left(\cos^2 a = \cos^2 a + 1 - 2\cos a + \sin^2 a\right)$$
$$\equiv \left(0 = 1 - 2\cos a + (1-\cos^2 a)\right)$$
$$\equiv \left(\cos^2 a +2\cos a -2\right)$$
$$\equiv \left((\cos a + 1)^2 - 1 -2 = 0\right)$$
$$\equiv \left(\cos a = \pm\sqrt 3 - 1\right)$$
dont on ne retiendra que la solution $\cos a = \sqrt 3 - 1$, d'où $a = \arccos(\sqrt 3 - 1)$.

soit x l'angle recherché.

nous avons
(1). cos(x)=AH/AC = AH/AB
la bissectrice de  est aussi la hauteur, donc
(2). sin(x/2)=BC/2AB

(1) nous donne AH=AB.cos(x)
(2) nous donne BC=2.AB.sin(x/2)

or AH=BC, soit
cos(x)=2*sin(x/2)

ce qui nous donne alors : $x=4\arctan(1+\sqrt{3}-\sqrt{3+2\sqrt{3}}) = 42,94^\circ$

D'après le théorème d'Al-Kashi :
$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos(\hat{A})$$
$$AH^2=AB^2+AB^2-2AB^2\cos(\hat{A})$$
$$\cos(\hat{A})=1-\frac{AH^2}{AB^2}$$
Or on sait que :
$$\cos(\hat{A})=\frac{AH}{AC}=\frac{AH}{AB}$$
donc $\cos(\hat{A})$ est solution de l'équation
$$x^2+x-1=0$$
On élimine la solution négative, et
$$\cos(\hat{A})=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

42.941402865 =  cos⁻¹ (√3−1)