Je recommence (j'avais commencé par un truc faux...). Je note T la fortune totale.

Existence avec :
F = 1/(n+1)
S = 1/(n²)*T
Alors tout le monde recevra exactement la même part.

Démonstration par récurrence :
Si les k premiers forumeurs ont reçu chacun (1/n)*T alors il reste ((n-k)/n)*T à distribuer. Le suivant recevra :
(k+1)*S + F*(nouveau reste)
= (k+1)*S + F*(((n-k)/n)*T - (k+1)*S)
= (k+1)*S + (1/(n+1))*(((n-k)/n)*n²*S - (k+1)*S)
= (k+1)*S + (1/(n+1))*(n²-n.k-k-1)*S
= (k+1)*S + (n-k-1)*S
= n*S
C'est à dire la même somme. CQFD.

Soit P la fortune de PdT,S la somme et 0<F<1 la fraction du reste
Posons la suite suivante
[TeX]U_1[/latex]=[latex]S+F(P-S)[/latex]=[latex](1-F)S+F\times P[/latex] et
[latex]U_n[/latex]=[latex]nS + F(U{n-1}-nS)[/TeX]
montrons par récurrence que [latex]U_n[/latex]=[latex](n-\sum_{i=1}^{i=n}F^i) \times S + F^n\times P[/latex]
pour n=1[latex]U_1[/latex] est vérifiée
On suppose vraie la formule au rang n-1 montrons le au rang n
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + F(U{n-1}-nS)[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + F(((n-1)-\sum_{i=1}^{i=n-1}F^i) \times S + F^{n-1}\times P-nS)[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + ((n-1)F-\sum_{i=2}^{i=n}F^i \times S + F^n\times P-nSF[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS + (n-1)FS-\sum_{i=2}^{i=n}{F^i}\times S  + F^n\times P-nSF[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex]nS - FS - \sum_{i=2}^{i=n}{F^i} \times S + F^n\times P[/TeX]
[TeX]U_n[/latex]=[latex](n-\sum_{i=1}^{i=n}F^i) \times S + F^n\times P[/TeX]
donc la formule est vraie au rang n

On sait aussi qu'il faut que [latex]\sum_{i=1}^{i=n}U_i[/latex]=P
donc [latex]\sum_{i=1}^{i=n}(i-\sum_{j=1}^{j=n}F^j) \times S + F^i\times P[/latex]=[latex]P[/latex]
donc [latex]({{n(n+1)}\over 2}  - \sum _{i=1}^{i=n}iF^{n-i+1})\times S[/latex]=[latex]P\times (1-{{1-F^{n+1}}\over{1-F}})[/latex]

De plus il faut que 2 personnes aient la même somme d'argent donc
il existe [latex] p<q \in[1;n] U_p=U_q[/latex] donc
[TeX](p-\sum_{i=1}^{i=p}F^i) \times S + F^p\times P[/latex]=[latex](q-\sum_{i=1}^{i=q}F^i) \times S + F^q\times P[/TeX]
donc [latex](q-p-\sum_{i=p}^{i=q}F^i) \times S = (F^p-F^q)\times P[/latex]

Dernier indice avant la réponse

En utilisant l'indice précédent on obtient sans problème :

[latex]U_{k+1}-U_k=(1-F)(U_k-U_{k-1})[/latex] . Que penser alors de la suite finie [latex]U_k[/latex] ?

Vasimolo

gabrielduflot

Le problème est que le nombre d'héritiers est fini

Vasimolo

Bon ne laissons pas traîner ce problème plus longtemps

L'égalité [latex]U_{k+1}-U_k=(1-F)(U_k-U_{k-1})[/latex] entraîne que [latex]U_{k+1}-U_k[/latex] est strictement du même signe que [latex]U_k-U_{k-1}[/latex] c'est à dire que [latex]U_k[/latex] est strictement croissante , strictement décroissante ou constante . Si elle prend deux fois la même valeur elle ne peut être que constante et on retrouve ce qui a déjà été dit

Vasimolo