Oui, Ebichu.

Peux-tu trouver une règle générale sur la contrainte du placement des points à respecter pour l'inscription ?

C'est un peu le but de la question.

On place un repère tel que le carré devient le carr unité à la base du repère. On nomme c1 le côté du carré entre (1,0) et (1,1), c2 entre (0,0) et (1,0), c3 entre (0,1) et (1,1) et c4 entre (0,0) et (0,1)
On nomme s1 le sommet du quadrilatère sur c1 (resp s2, s3, s4).
On nomme p12 un point libre sur [s1 s2]
On nomme  p13 la projection de p12 sur [s1 s3) parallèlement à c1
p12 et p13 ont donc les mêmes ordonnées
On nomme  p24 la projection de p12 sur [s2 s4) parallèlement à c2
On nomme  p34 la projection de p13 sur [s3 s4) parallèlement à c2
(quitte à prolonger les axes)
Supposons sans perte de généralité que l'abscisse de s4 est supérieure à celle de s2.

Soit  l1 la longueur p12p24 et l2 la longueur p13p34.

Plaçons p12 en s1. On a alors p13 = p12 = s1
On remarque facilement que p24 est dans le carré et p34 hors du carré. (C'est du au choix que l'abscisse de s4 est supérieure à celle de s2). On en déduit que l1 < l2.

Maintenant, si l'ordonnée de s3 est supérieure à celle de s2, plaçons p12 et p13 sur la même ordonnées que celle de s3.

On a alors l2 = 0 < l1

Inversement, si l'ordonnée de s2 est supérieure à celle de s3, plaçons p12 et p13 sur la même ordonnées que celle de s2.

On a alors l1 = 0 < l2

On déplace p12 et p13 continument à partir de s1 sur [s1, s2] et [s1, s3] en gardant ces deux points parallèles par rapport à c1 (leurs ordonnées respectives restent donc égales). On s'arrête lorsque l'ordonnée de p12 et p13 devient égale à la plus grande entre celle de s2 et s3 (autrement, l'un des points sortirait du carré.

La quantité l1 -l2 varie continument et monotonement par rapport au déplacement de p12 et p13.
On a au départ l1 - l2 < 0.
On a à l'arrivée l1 - l2 < 0 si l'ordonnée de s2 est supérieure à celle de s3 et l1 - l2 > 0 si l'ordonnée de s3 est supérieure à celle de s2

D'après le théorème de la bijection, il existe une unique position ou les valeurs l1 et l2 sont égales ssi l'ordonnée de s3 est supérieure à celle de s2

De plus, il est facile de vérifier que si il y a croisement, les quatre sommets du rectangle sont dans le carré.

Dans le cas où l'ordonnée de s3 est supérieure à celle de s2, on voit bien que les longueurs se croisent et qu'on obtient un rectangle à cet instant


Dans le cas où l'ordonnée de s2 est supérieure à celle de s3, on voit bien que l2 restera toujours supérieure à l1, il n'y aura donc jamais de rectangle...

J'ai édité pour rajouter les images, et j'ai un peu modifié pour clarifier (en tout cas j'espère)

Coucou,

J'ai peut-être raté qqch dans l'énoncé mais je tombe sur un contre-exemple



En résumé, si les 4 points choisis sur le carré forment un quadrilatère relativement étroit. Il est impossible d'atteindre le 4e côté en traçant des lignes horizontales et verticales.

Ci-dessous traduction graphique de mon premier post, et traitement du cas 4, où aucune solution n'existe.

Bonjour Nodgim

J'ai une solution construite du rectangle quand les coordonnées des quatre points respectent un certain ordre mais j'ai complètement oublié comment on joint une image sur ce site .

Vasimolo

J'ai retrouvé comment faire ( c'est quand même un peu tordu )



ABCD donné , on place les points W , X , Y , Z puis M , N , O , P . On obtient alors Le rectangle rouge .

La construction ne fonctionne que si W , X , Y et Z sont à l'extérieur des segments [CD] , [AD] , [AB] et [BC]  ce qui se traduit aisément en termes de coordonnées dans un repère supporté par les côtés du carré .

Vasimolo

La condition me semblait claire : [latex](x_C-x_A)(y_B-y_D)>0[/latex] .

La construction et les conditions sont les mêmes pour un rectangle .

Vasimolo

Bravo, Vasimolo !

Et la crème Chantilly, alors ?

Voici une proposition de solution, mais j'imagine qu'il y a plus élégant. Dans chaque cas, je pars d'un point I situé sur le côté supérieur droit du quadrilatère, puis je trace une horizontale, une verticale, une horizontale, et je regarde si le quadrilatère inscrit obtenu est un rectangle.

Premier cas : si les points sur le carré sont "en face", quelle que soit la position de I, on obtient un rectangle. Ceci se démontre avec le théorème de Thalès utilisé trois fois : a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = a4/b4.



Deuxième cas : si les points en haut et en bas du quadrilatère sont "en face", mais que le point de gauche est plus haut que le point de droite, alors a1/b1 < a2/b2 = a3/b3 < a4/b4 donc comme a1/b1 est différent de a4/b4, le 4e point du quadrilatère inscrit n'est pas en face de I. On ne peut pas former de rectangle inscrit. D'une manière générale, il se passe la même chose dès lors que deux points sont en face, et pas les deux autres.



Troisième cas : si le point du haut est à gauche du point du bas, et le point de gauche est plus haut que le point de droite, alors a1/b1 < a2/b2 < a3/b3 < a4/b4, donc le 4e point du quadrilatère inscrit n'est pas en face de I, sinon on aurait a1/b1 > a4/b4. On ne peut pas former de rectangle inscrit. D'une manière générale, il se passe la même chose dès lors l'angle orienté formé par la verticale et la droite passant par les points du haut et du bas est de signe opposé à l'angle orienté formé par l'horizontale et la droite passant par les points de gauche et de droite.



Quatrième cas : l'angle orienté formé par la verticale et la droite passant par les points du haut et du bas est de même signe que l'angle orienté formé par l'horizontale et la droite passant par les points de gauche et de droite. Entre les deux situations extrêmes illustrées sur les 2 figures ci-dessous, où le point I est une fois à droite, et une fois à gauche du 4e point, il existe une situation intermédiaire où les deux points sont en face, et où le quadrilatère inscrit est un rectangle.

@Nodgim

Le problème avec ces longs dialogues en aveugle , c'est qu'on a la vision des autres uniquement à travers le filtre de celui qui a posé le problème .

Il y a pas mal de choses dans l'exercice qui masquent le fond du problème . Globalement on a deux directions de droites et un quadrilatère dans lequel on veut inscrire un parallélogramme dont les côtés suivent ces directions .



Je ne suis pas allé voir plus loin mais on voit tout de suite les limites de la construction et qu'avec quelques transformations bien senties , elle risque de tomber toute seule .

Vasimolo

J'ai une construction simple du parallélogramme :



ABCD est le quadrilatère dont les sommets sont sur les côtés d'un parallélogramme aux directions rouges et bleues . Quand le point W décrit la droite (AB) , le quatrième sommet du parallélogramme WXYZ décrit la droite (A'D') en vert . Il n'y a plus qu'à choisir Z sur [BC] pour obtenir la solution .

Vasimolo