Probablement 3^N avec N=ent[2020.ln(2)/ln(3)] donc 3^1274
(en fait au départ j'hésitai avec 2^1010 mais 1010 < 1274)

Je viens de remplacer le mot "facteur" par "diviseur". Pardon aux lecteurs pour qui auraient pu mal interpréter.

@ Caduk: j'ai lu ton message précisément après ce que je viens d'écrire.

Effectivement, je me suis trompé, on obtient 230 pour le nombre de facteurs premiers distincts.

Pour le nombre de diviseurs :

Si un nombre s'écrit [latex]\displaystyle n=\prod_{p_i\text{ premiers}}p_i^{\alpha_i}[/latex], le nombre de diviseurs est [latex]\displaystyle\prod_i (\alpha_i + 1)[/latex]
Si on veut que [latex]n < 2^{2020}[/latex], alors en prenant le log:
[TeX]\displaystyle \sum\alpha_i log_2(p_i) < 2020[/TeX]
Récapitulons l'exercice :
l'objectif est de résoudre le problème d'optimisation suivant :
[TeX]\displaystyle Max n=\prod_{p_i\text{ premiers}}p_i^{\alpha_i}[/TeX]
où
[TeX]\displaystyle \sum\alpha_i log_2(p_i) < 2020[/TeX]
[TeX]\alpha_i \geq 0 \;\ \forall i[/TeX]
[TeX]\alpha_i \in \mathbb{N}[/TeX]
Soit [latex]P[/latex] la relaxation de ce problème. (on enlève la condition que les variables soient entières, ce qui nous ramène à en chercher des approximations)
Soit [latex]P_N[/latex] ce même problème, mais uniquement sur les [latex]N[/latex] premiers nombres premiers.

On sait que pour la solution optimale de [latex]P[/latex], il existe un rang à partir duquel les [latex]\alpha_i[/latex] seront nul. En effet, si un nombre premier est supérieur à [latex]2^2020[/latex], alors sont exposant sera forcément nul.
Soit [latex]N[/latex] le coefficient du plus grand nombre premier tel que [latex]\alpha_N > 0[/latex]
Il est facile de voir que la solution de [latex]P[/latex] est la même que la solution de [latex]P_N[/latex].

Enlevons les contrainte de positivité sur le problème [latex]P_N[/latex].
Maintenant, un peu de magie : Posons [latex]\beta_i = log_2(p_i)(\alpha_i +1)[/latex]. On a alors la relation [latex]\displaystyle \sum_i \beta_i = 2020 + \sum_i log_2(p_i)[/latex]
De plus, maximiser le nombre de diviseurs est équivalent à maximiser le produit des [latex]\beta_i[/latex].

Il est bien connu que maximiser un produit connaissant la somme de ses termes revient à prendre tout les termes égaux. (car s'il existe deux termes non égaux, on peut améliorer le produit en les remplaçants par leur moyenne, donc aucune solution avec deux termes différents ne peut être optimale)

On a donc [latex]\beta_i = \dfrac{2020 + \sum_k log_2(p_k)}{N}[/latex]. Ce qui nous donne [latex]\alpha_i = \dfrac{2020 + \sum_k log_2(p_k)}{N log_2(p_i)}-1[/latex]

Cependant, une contrainte n'a pas été prise en compte : on aimerait bien que les exposants trouvés soient positifs. Ici, si on fait tendre le nombre de nombres premiers vers l'infini, on trouve que les exposants pour les petits nombres premiers tendent vers l'infini, tandis que les derniers  nombres premiers reçoivent un exposant qui tend vers -1.

Il faut donc que l'on prenne maintenant en compte la contrainte de positivité des exposants. Les solutions ou toutes les coefficients sont positifs sont forcément optimales avec les contraintes de positivité. Plus on augmente [latex]N[/latex], plus le max augmente, donc la solution optimale de [latex]P[/latex] sera celle de [latex]P_N[/latex] avec N le plus grand [latex]N[/latex] tel que [latex]\alpha_N[/latex] soit positif.

On veut donc [latex]2020 + \sum_k log_2(p_k) > Nlog_2(p_N)[/latex]
On obtient, sauf erreur, N = 1209, il faudra donc considérer 1209 nombre premiers, jusqu'à 9803 pour avoir la solution optimale avec exposants non entiers. (bien sûr, il n'y aura probablement pas besoin d'aller aussi loin pour les exposants en nombre entiers)

Calculons donc les valeurs approchées de ces exposants. La somme des logarithmes des nombres premiers jusqu'à 9803 vaut s = 14011.46907739904

On a donc :
2 : [latex]\alpha_1 = \dfrac{2020 + s}{1209\times log_2(2)} - 1= 12.271074658293106[/latex]
3 : 7.373115863785284
5 : 4.715540755768706
7 : 3.727252173931144
11 : 2.8362008911512193
13 : 2.586350722924302
...

Si on arrondi tout ces coefficients à l'entier inférieur, on obtient une solution valide en nombres entiers (mais pas optimale):
2 : 12
3 : 7
5 : 4
7 : 3
11 - 19 : 2
23 - 97 : 1

Ce qui nous donne un nombre de diviseurs de 13*8*5*4*3^4*2^17 = 22083010560 (ce qui est déjà pas mal...)
Mais on peut encore faire beaucoup mieux, il suffit de faire la somme pondérée des log pour voir que l'on est très très loin des 2020 (on obtient 169!). C'est en grande partie due au fait qu'après 97, de très nombreux nombres premiers avait une approximation très proche de 1, et ont tous été ramené à 0.
On pourrait arrondir pour faire mieux même si on n'est pas sûr que ça soit admissible (même si ça ne sera pas loin...)
Généralement, les problèmes d'optimisation continue sont facile à résoudre, et leur contrepartie en valeur entière est NP-complet, donc on est sans doute face à un problème difficile.

Je reviens plus tard pour essayer de trouver la meilleure solution possible, mais sans une grosse étude de cas informatique, je pense qu'il est dur de trouver de manière élégante et de prouver la valeur optimale, (En revanche, un solveur n'aura aucun problème à traiter un problème de cette taille)...

Edit :
Bon, je viens quand même d'arrondir pour ne pas me retrouver avec une valeur trop ridicule...

2 : 12
3 : 7
5 : 5
7 : 4
11 - 13 : 3
17 - 37 : 2
41 - 457 : 1

La somme des log fait  702.75 (on est donc toujours très loin des 2020)
Le nombre de diviseurs est donc de 13*8*6*5*4^2*3^6*2^76 = 2.749677598197082e+30, qui donne une bonne inférieure (mais très éloignée)

On peut trouver une borne supérieure en arrondissant à l'excès, on obtient 14*9*6*5*4^4*3^17*2^1121, ce qui donne un très très gros nombre, mais qui surestime beaucoup la valeur optimale.
On peut bidouiller pour rapprocher beaucoup les bornes, je vais essayer de trouver le moyen le moins moche quand j'aurais un peu de temps.

Une proposition non constructive : l'un des entiers inférieurs à [latex]2^{2020}[/latex] dont la décomposition en facteurs premiers contient le maximum de facteurs distincts .

Vasimolo

S’il s’agit des diviseurs (et non des facteurs), je change ma réponse: c’est le produit des 230 premiers nombres premiers dont le nombre de diviseurs est 2^230.

Je crois que c'est un peu de l'arnaque ce problème

J'ai essayé à la main de trouver le maximum de facteurs premiers distincts dans un entier inférieur à [latex]2^{2020}[/latex] , sauf erreur il y en a 230 , le dernier étant 1451 . On a alors [latex]2^{230}[/latex] diviseurs . On peut bien sûr corriger à la marge en supprimant les derniers facteurs et en augmentant les exposants des premiers premiers mais tout cela me semble bien plus lourd que "ça ne m'a pas pris trop de temps " .

Vasimolo

Je retente ma chance (en passant par les logarithmes car le rabe est plus facile à identifier): c’est le produit des 230 premiers nombres premiers multiplié par 2^5 (ou 2^6 x 3 x 5 x 7 x ...... x 1451) dont le nombre de diviseurs est 7 x 2^229.

@ Francky : ton résultat donne un log de 160,27....

Ce n'est pas mal, mais il y a mieux.

Dans ce problème, les unités de log coûtent cher. 1 unité de plus, et ton nombre est multiplié par 2,718....!

@ Vasimolo : l'idée est là, bien entendu, après c'est une histoire de patience et de goût. Je comprends que ça peut ne pas plaire à tout le monde. C'est juste un exercice de style. En semi-manuel, il faut tout de même ne pas disperser ses efforts.

Salut Caduk,

Sauf erreur, le nombre de diviseurs de ta solution a pour log 158,32. Ce qui est plus petit que le brut des 230 premiers nombres premiers : 159,....

il y a quelque chose qui ne va pas dans la démarche.

Salut,
Je trouve un log du nombre de diviseurs un peu plus grand que 163.7755

2^13 * 3^9 * 5^6 * 7^4 * 11^3 * 13^3 * 17^3 * 19^2 * 23^2 * 29^2 * 31^2 * 37^2 * 41^2 * 43^2 * 47^2 * 53^2 * 59^2 * 61^2 * 67^2 * 71 * 73 * 79 * 83 * 89 * 97 * 101  (...)   * 1327 * 1361

133906064952873793600609593406329951800649926335126845286670494649548800 diviseurs
pour le nombre :
120297987559754384432904172296775097816177153142962673524061271704223416
053733402125139721940604703903069294485981143656852785279901622748332306
912383419066360741075003362097299288228213657873769835958882964689119053
796295985321203232255271189822347896208658606226676652727663229010030463
746058725159269782939272608736180418721019834152101670891035951638910231
636646877625858765438979084935550703518488087047967242429919925459583188
892308061624101948095076832802391414191972244145565295960401872575103972
262054907429376226514982675262352911358303089727255369340684146654257969
859659323344820312735267968000000

@ Jackv : joli effort ! c'est bien de cette façon qu'on peut optimiser.

Sinon, tu ne peux aller au delà de 230 diviseurs premiers.

OK vu Gwen.