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#1 - 03-06-2020 07:37:13
sut des écarts......Soit n nombres entiers distincts > 0, à chacun est attribué un rang de 1 à n.
#0 Pub#2 - 15-06-2020 19:52:40
Sur des écaarts......Salut En particulier le produit des écarts des rangs vaut P(1,2,…,n). Considérons un facteur premier p de P(1,2,…,n) et cherchons à dénombrer les écarts de P(n1,n2,…,nn) divisibles par p. Un écart Δi,j est divisible par p si et seulement si nimodp=njmodp. On cherche les cas les plus défavorables, c'est à dire les cas donnant le plus petit nombre d'écarts Δi,j divisibles par p. En regardant la relation récurrente donnant P(n1,n2,…,nn) on remarque que pour minimiser l'apport en p dû à l'ajout du n-ème nombre il suffit que celui-ci ait un reste différent de ses prédécesseurs lorsque divisés par p. Couplé au fait que P soit invariant par permutation on en déduit les cas les plus défavorables : P(1+N⏟modp=m1,2+N⏟modp=m1+1,…,n+N⏟modp=m1+(n−1)modp),N∈N Comme P(1,2,…,n)=P(1+N,2+N,…n+N) on en déduit que dans les cas les plus défavorables il y a tout juste autant de fois p dans la décomposition en facteurs premiers de P(1,2,…,n) que dans la décomposition en facteurs premiers de P(n1,n2,…,nn). Ceci étant vrai pour tous les facteurs premiers de P(1,2,…,n), la divisibilité de l'un par l'autre est assurée dans tous les cas. #3 - 17-06-2020 23:24:08
Sur des écrts......Petit bonus pour ceux que ça intéresse j'ai retrouvé la démonstration originale du théorème en question. #4 - 18-06-2020 09:22:18
Sur eds écarts......J'avais cette idée-là en tête, mais pas sûr de la justesse du raisonnement.... Réponse rapideSujets similaires
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