Je pense qu'une des questions possibles est:
"Si tu avais tiré un autre badge que celui que tu portes, tu me dirais que tu as eu un garçon."
Si elle répond faux c'est un garçon si elle répond vrai c'est une fille.

"Un chercheur qui a l'autre badge dirait-il que tu as eu un garçon ?" Si la réponse est VRAI, l'enfant est une fille ; si c'est FAUX, c'est un garçon.

Variante :

Un aventurier doit traverser un fleuve. Il arrive devant deux ponts, dont l'un est trop fragile pour le supporter, et l'autre bien assez robuste pour qu'il puisse l'emprunter sans danger. Chaque pont est gardé par un de ces deux trolls ; l'un dit toujours la vérité, l'autre ment. Comment peut-il déterminer quel pont est le bon en ne posant qu'une question à un seul garde ?

On a besoin soit d'etre sur qu'entre eux, les chercheurs savent qui ment et qui ne ment pas.
On pose alors a l'un d'entre eux:
"est-ce qu'un autre chercheur avec un badge different dirais que c'est un garcon?"
et on en deduit que l'inverse de la reponse est vrai.
Une grande classique!

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Il faut lui dire : Tu as eu une fille et tu mens ?
Si elle dit vrai et qu'elle a eu une fille alors elle répondra "faux" (car elle ne ment pas)
Si elle dit vrai et qu'elle a eu un garçon elle répondra "vrai" puisqu'elle ment effectivement en disant qu'elle a eu une fille.
Si elle ment et qu'elle a eu une fille alors elle répondra "faux" puisqu'elle ment en disant qu'elle n'a pas eu de fille.
Si elle ment et qu'elle a eu un garçon alors elle répondra "vrai" puisqu'elle ment en disant qu'elle a eu une fille.

Ce qui se traduit par "faux" j'ai eu une fille (ou "vrai" j'ai eu un garçon)

Enfin, j'me comprends... !

On peut par exemple lui poser une question de ce type...

Tu ne viens pas d'accoucher d'un beau bébé exquis de sexe féminin qui va te faire souffrir pendant six mois en ne faisant pas ses nuits et en venant à la tétée ou au biberon toutes les 3 heures, n'est-ce pas ?

La réponse négative impliquerait que ceci serait vrai...

et la positive ne dirait pas si le jeune homme ferait davantage ses nuits que la demoiselle...