Suite aux plussoiements de ma grille de mots croisés spéciale "matheux", voici une petite introduction (forcément partielle) à trois des mathématiciens qui ont le plus contribué à l'histoire de cette noble science.



1) Il faut sans doute être un peu fou pour avoir l'idée que plusieurs infinis peuvent être de tailles différentes : le premier que nous cherchons devait l'être un peu. Il a notamment montré qu'il y a "la même infinité" d'entiers et de rationnels, grâce à une théorie des ensembles qu'il a grandement (trèèès grandement) contribué à construire ! En revanche, on pourrait dire qu'il y a infiniment plus de réels que d'entiers.

Toujours bizarre à se dire : les nombres rationnels étant des fractions d'entiers, on voit par exemple qu'il y a une infinité de fractions différentes dans l'intervalle [0,1] contre seulement deux entiers, 0 et 1. Pourtant... Le cardinal des entiers est le même que celui des rationnels (ils ont le même "nombre d'éléments", un cardinal fini étant le simple décompte du nombre d'éléments). Quant au cardinal des réels, il correspond au nombre de parties de l'ensemble des entiers, c'est-à-dire le nombre d'ensembles d'entiers que l'on peut construire. Bizarre, tout ça !

En attendant, c'est avec ce genre de résultats, mathématiquement solides, rigoureusement démontrés, qu'il crée une partie de la théorie des ensembles, et la soutient mordicus, quoi qu'en disent certains mathématiciens constructivistes, qui lui reprochent entre autres d'utiliser le "premier infini" C (cardinal de l'ensemble des entiers) comme un nombre classique, en disant par exemple que le cardinal des réels est 2^C (deux à la puissance C, le nombre de parties d'un ensemble de cardinal C).



2) Il faut dire aussi que les constructivistes n'ont rien fait pour se faire aimer de beaucoup de matheux, puisqu'ils se basent sur la non-acceptation du principe de tiers exclu, principe selon lequel une proposition quelconque est forcément vraie ou fausse. Elle ne peut toujours pas, constructivisme ou pas, être vraie et fausse en même temps, selon un principe de non-contradiction relativement intuitif ; mais elle peut être ni l'une ni l'autre. Le constructiviste dira, par exemple, que si x n'appartient pas à un ensemble E, ça ne signifie pas pour autant qu'il appartient "au reste", à tout ce qui n'est pas E. Peut-être n'est-il nulle part... Ou bien à un endroit hors d'accès de la théorie dans laquelle nous avons construit E.

Notre deuxième grand mathématicien est à la fois fasciné par le premier et écœuré par les constructivistes. Il juge, selon ses propres dires, que priver un matheux du tiers-exclu est comme priver un boxeur de ses gants ou un astronome de sa lunette (d'ailleurs, énormément de démonstrations mathématiques, sinon toutes les démonstrations "classiques", sont basées sur le principe du tiers-exclu). Aussi saute-t-il sur les critiques des seconds à l'égard du premier pour déclarer que "nul ne doit nous exclure du Paradis qu'[il] a créé". Poum. Ou comment deux écoles de la même science, qui cherchent donc fondamentalement la même compréhension du monde, peuvent s'envoyer des piques et donc se mettre à dos l'une l'autre.

Ceci étant dit, notre matheux number two a eu bien raison sur pas mal de points. En plus d'avoir fait avancer les mathématiques d'une manière extraordinaire en créant un type d'ensembles très pratiques qui portent son nom (l'explication théorique me paraît un peu trop fastidieuse), il a présenté à un congrès international de 1900 une liste de problèmes mathématiques qui, selon lui, devaient absolument trouver une réponse pour faire avancer les mathématiques au XX° siècle... et il n'avait pas tort ! Le premier de ces problèmes était d'ailleurs de prouver un des axiomes fondateurs de la théorie des ensembles créée par notre grosse tête numéro un... Ce problème a été jugé indécidable grâce à notre troisième matheux.



3) Un des axiomes de notre "numéro un" était qu'il n'y a aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre celui des entiers et celui des réels. Ça ne parait pas trop dur pour certains : en effet, l'ensemble des entiers naturels est, nous dit-on, de même cardinal que celui des rationnels. Or l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des réels : quel que soit le réel considéré, on peut toujours trouver des fractions qui seront de plus en plus proches de lui, et même "infiniment proches". On peut donc construire les réels à partir des rationnels en se "contentant" de remplir tout plein de trous infiniment petits. Difficile de remplir aussi peu, voire moins que ça un quelconque ensemble ! Et pourtant...

Grâce à un théorème qu'il publie en 1931, notre "numéro trois" permet de démontrer en 1963 que l'hypothèse, selon laquelle il n'y a rien qui soit à la fois plus grand que l'ensemble des entiers et plus petit que l'ensemble des réels, est indécidable. Autrement dit : elle n'est ni totalement vraie, ni totalement fausse dans cette théorie. En fait, on n'en sait rien, et on n'en saura jamais rien. Notre "numéro deux", qui avait déclaré "nous devons savoir, nous saurons", se serait senti bête devant ce résultat. Heureusement pour lui, il était mort vingt ans auparavant.

Quel est ce thèorème étrange qui permet d'affirmer que certains résultats ne peuvent pas être vrais ni faux dans une théorie mathématique donnée ? Il s'agit d'un des deux théorèmes d'incomplétude. Voici en gros ce qu'ils disent :

Théorème 1 : Dans n'importe quelle théorie cohérente (qui ne permet pas de prouver tout et son contraire) et axiomatisable (qu'on peut exprimer comme un système de déductions de quelques "axiomes", des suppositions fondatrices), on peut exprimer une proposition qui n'est ni vraie ni fausse dans cette théorie (c'est-à-dire dont on ne peut démontrer ni la véracité, ni la non-véracité).

Théorème 2 : On ne peut pas démontrer la cohérence d'une théorie au sein même de cette théorie.

La branche des métamathématiques s'ouvrira encore grâce à ces deux théorèmes, car une théorie mathématique que l'on suppose "suffisante" (en gros, qui ne s'applique "pas trop mal" à l'état actuel des autres sciences, et en particulier de la physique) ne permettra jamais de tout démontrer. De plus, elle ne permettra pas non plus de démontrer sa propre cohérence. La solidité d'une théorie mathématique semble donc une constatation empirique, limitée par l'avancée des sciences à un moment donné.

Précisons d'ailleurs le cas de l'axiome du choix, un des axiomes fondateurs de la théorie des ensembles couramment utilisée : cet axiome mentionne que si je prends une famille d'ensembles, je pourrai toujours créer une fonction qui récupère un élément de chaque ensemble. J'ai un bac de chaussettes et un tiroir à caleçons : je pourrai toujours prendre une chaussette gauche, une chaussette droite et un caleçon là-dedans, tant que le nombre de chaussettes (respectivement de caleçons) disponibles est supérieur ou égal à 2 (respectivement à 1). Tellement intuitif qu'on n'aurait pas pensé à en faire un axiome ; pourtant, les mathématiques se doivent d'y passer.

Cet axiome du choix est indécidable dans la théorie des ensembles qui en découle : par conséquent, il restera un simple axiome, une supposition invérifiable, pourtant fondatrice des mathématiques que l'on utilise...



Noms des mathématiciens :

1) _ _ _ _ _     _ _ _ _ _ _
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La suite suivante :
321/225/125/313/111   221/122/M/112/223
vous permettra de trouver le nom d'un quatrième mathématicien en forme de clin d'oeil, dont je ne parlerai pas

J'espère que le texte est facilement compréhensible pour des non-initiés. Que les initiés m'excusent certaines imprécisions ; ce texte n'est pas fait pour expliquer avec la plus grande rigueur, mais plutôt pour donner une idée de la façon dont les maths peuvent être construits, et en particulier de leur grande subjectivité !