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 #1 - 16-01-2009 10:35:04

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

20009 et des 9

Soit un nombre composé en base 10, uniquement de 9, exemple : 9, 99, 999, ... combien de chiffres 9 comporte le plus petit de ces nombres divisible par 2009 ?

Nb : Le nombre est assez grand, je l'ai trouvé par computation, je n'ai pas cherché de démonstration, mais si vous voulez tenter d'en trouver une ^^.

Source : http://abcmaths.free.fr/blog/2009/01/en … ation.html

 
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 #2 - 16-01-2009 12:21:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

2009 er des 9

Premiers éléments de réflexion (je les laisse là pour plus tard) :

- 2009 n'étant pas divisible par 9, et un nombre fait uniquement de chiffres 9 l'étant, un nombre fait uniquement de 9 et divisible par 2009 sera divisible par 2009 * 9 = 18081
- 18081 finit par un 1, et le nombre cherché finit par 9, donc le nombre sera de la forme 180810 n + 18081 * 9 = 180810 n + 162729
- le chiffre des dizaines du nombre considéré sera (n + 2) modulo 10, donc de la même façon, n est congru à 7 modulo 9.
Le nombre cherché (en changeant de n) : 1808100 n + 180810 * 7 + 162729 = 1428399 + 1808100
- on continue :
1428399 + 6 * 1808100 + 18081000 n = 12276999 + 18081000 n
etc.

La méthode est semi-automatique mais la calculette Windows (par exemple) n'a pas une précision suffisante pour pouvoir le faire. En virant les 0000..000 et 9999..999 de la fin au fur et à mesure, on pourrait sans doute mener à bien ce calcul et compter au fur et à mesure les chiffres.

Par exemple, quand j'arrive à 12276999 + 18081000 n, je repars à 12276+18081n et je garde en mémoire nb_chiffres = nb_chiffres + 3. D'où un algo qui permettrait de résoudre ce problème en un temps minuscule.

Je continuerai mes recherches plus tard (pas le temps tout de suite).

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 #3 - 16-01-2009 15:02:30

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2218

009 et des 9

210 !

 #4 - 16-01-2009 19:01:41

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

2009 et ses 9

Au hasard, je dirais 210, simplement parce que la fraction 1/2009 a une sequence qui se repete tous les 210 chiffres.

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 #5 - 18-01-2009 11:12:44

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

2009 et drs 9

Je l'ai programmé en Maple, c'est assez rapide :

Code:

num := 9:
ok := false:
i := 1:
while (ok = false) do
  num := num*10+9;
  i := i+1;
  if (num mod 2009 = 0) then
    ok := true;
  fi;
od:
i;

Le programme affiche la réponse : 210 chiffres.

Bravo à FRiZ pour avoir trouvé, à MthS pour avoir cherché une démonstration, et enfin dhrm77, je serais curieux de voir si ta méthode fonctionne a tous les coups !

 #6 - 18-01-2009 13:00:34

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2218

209 et des 9

Mon programme en python (qui ne ressemble à rien !) :

Code:

prout = 9
while prout%2009 != 0 :
        prouty = str(prout)+"9"
        prout = int(prouty)
print len(prouty)

 #7 - 18-01-2009 18:38:49

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

2009 et fes 9

Au départ, j'avais lu factorielle 210 lol

Une -presque- démonstration algébrique.

2009 = 7 * 7 * 41

1/2009= 1/7*1/7*1/41

Développement décimal de 7 : 0,aaaaaaaa...
a période de longueur 6 = 142857

Développement décimal de 49 : 0,bbbbbb...
b période de longueur 42 = 204081632653061224489795918367346938775510

Développement décimal de 41 : 0,ccccc...
c période de longueur 5 = 02439 (le zéro compte)

Pas su établir que 5*42 = 210 était la longueur de la période recherchée hmm
Dhrm77 l'a trouvée et vous l'avez établie par computation.

Appelons-là d
n=1/2009 =0,dddddddd...

10^210*n = n+d
(10^210-1) = 1/n*d = 2009*d

Scrogneugneu pour le bout qui manque big_smile

"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #8 - 18-01-2009 19:20:40

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

209 et des 9

210 est le ppcm de 5, 6, 42

 #9 - 18-01-2009 20:51:54

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

2009 et ses 9

Pas sûr que ce soit nécessaire et suffisant hmm

J'ai buté avec 49...
Après, j'ai eu un problème d'encadrement.

On ne doit plus être très loin du but. wink

"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #10 - 19-01-2009 13:16:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

200 et des 9

EfCeBa a écrit:

210 est le ppcm de 5, 6, 42

Oui mais.

Pour 7 on a une période de longueur 6.
Pour 49 (=7x7) on a une période de longueur 42 (>6x6).
Alors comment que ça marche ?..

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 #11 - 20-01-2009 02:10:37

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

2009 et ses 9

Si je me souviens bien, ca a quelque chose a voir avec un des theoremes de Fermat.

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