EfCeBa a écrit:

Maintenant si vous avez le courage trouvez-moi une théorie pour obtenir le produit le plus grand pour un nombre n.

Bonswouar a écrit:

...
Surement un rapport avec le fait que [latex]3<\sqrt{14}<4[/latex]

En fait... je ne pense pas qu'il s'agit de la racine carré dans la prise en compte du machin chose... je serais plutôt tenté de dire qu'il faut prendre la racine nème (avec n comme nombre d'éléments).

Côté démonstration en fait... je pense tout de suite à la chose suivante :
(si on raisonne à 2 dim)
-> maximiser la surface d'un rectangle pour un périmètre donné... (et c'est un carré).
Pour notre problème, c'est un peu différent, puisque le nb de dimension n'est pas donné à l'avance... c'est d'ailleurs ça qui est "troublant", c'est qu'on ne connaisse pas la "dimension"
je serais plutôt tenté de dire qu'il faut résoudre qq chose du genre (en raisonnant avec des réels bien entendu... on extrapolera peut être ensuite en théorie des nombres entiers)
racine nième de 14 = n
soit
[TeX]{14}^{\frac{1}{n}} = n[/TeX]

Pour un resultat générique, pour un nombre n, la décomposition en somme est celle qui tombe juste parmi :
1 - n=x*3   (n modulo 3 = 0)
2 - n=x*3 + 2   (n modulo 3 = 2)
3 - n=x*3 + 2 + 2   (n modulo 3 = 1)

Une tentative d'explication, un peu empirique...

Décomposer en somme de 3 est le plus avantageux, puis un ou deux 2 pour completer si besoin.

Si on prend 6
6 = 2+2+2
2*2*2=8
6 = 3+3
3*3=9
Donc quand on a le choix, mieux vaut choisir les 3 que les 2.

Pour tous les nombres plus grands que 3, il est plus avantageux de les redecouper en somme de 3 et un ou deux 2.

4=2+2, 2*2=4, donc on peut garder un 4 mais il n'apporte rien de plus.

5=3+2, 2*3=6
6=... voir plus haut
7=3+2+2, 3*2*2=12
8=3+3+2, 3*3*2=18
9=3+3+3, 3*3*3=27
Et ainsi de suite...

On est d'accord, FSRom1

ok ok, c'est vrai qu'en revenant à une décomposition élémentaire, ça se comprend (et se démontre) plus facilement... enfin, ce que j'ai dit était tout faux du coup

Pour continuer la démo de FSRom1 (avec laquelle je suis d'accord)

On en était à: PMax = 1^x * 2^y * 3^z
Or on a aussi N = x+2y+3z
Supposons x > 0 et interessons nous alors au cas suivant:
N = (x-1)+2(y-1)+3(z+1)
La décomposition de N sous cette forme donne alors le produit suivant:
1^(x-1) + 2^(y-1) + 3^(z+1) = PMax * 3 / 2 > PMax
Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse x>0 est fausse et donc x=0.

On en est donc à: PMax = 2^y*3^z
et N=2y+3z
Supposons y >=3 et interessons nous alors au cas suivant:
N = 2(y-3) + 3(z+2)
On a alors le produit suivant:
2^(y-3) * 3(z+2) = PMax *9/8 > PMax
Donc on a un produit supérieur au produit supposé maximal. L'hypothèse y>=3 est fausse et donc y=0, 1 ou 2.

On a donc une des possibilités suivantes:
N = 3z
N = 2+3z
N = 2*2 + 3z

Or, si N%3=0, alors la seule décomposition possible est 3z; si N%3=1 la seule décomposition possible est 2*2+3z et enfin si N%3=2 la seule décomposition possible est 2+3z.
Conclusion: le meilleur produit s'obtient en décomposant N de la forme
N = 2*a+3*b avec 0<=a<=2 et b maximal.

CQFD

ah voui... intéressant ça... mci dhrm
faudra que je pose cette colle à un copain prof de math

Comme je ne savais pas quoi faire dans le train, je me suis souvenu d’une remarque de dhrm77 sur ce problème et je me suis attelé à la démonstration.

Spoiler : Démonstration
Soit N = a1 + a2 + … + an la décomposition optimale de N (avec 0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ … ≤ an) aboutissant au produit maximal P = a1*a2*…*an.

1) Supposons que a1>a2
On a donc a2 = a1 + B où B > 0
Cependant si on considère la décomposition de N suivante : N = (a1+B/2) + (a1+B/2) + a3 + … + an, le produit P’ obtenu est tel que:

P - P’ = a3*…*an * [a1*(a1+B) – (a1+B/2)^2] = a3*…*an * [– (B^2)/4] < 0
D’où P’ > P
De cette contradiction, il ressort que l’hypothèse a1<a2 est fausse, donc que a1 = a2.

2) Supposons que a1 = a2 = … = ai et que aj > ai (avec j = i+1).
On a donc aj = ai + C où C > 0
Cependant, si on considère la décomposition de N suivante : N = (ai + C/(i+1)) + (ai + C/(i+1)) + … + (ai + C/(i+1)) + ak + … + an (avec k=j+1), le produit P’’ obtenu est tel que:

P-P’’= ak*…*an * [(ai^i)*(ai+C) – [ai+C/(i+1)]^(i+1)] = ak*…*an * (-S)
où S est le binôme de Newton [ai+C/(i+1)]^(i+1) privé de ses 2 premiers termes (S est donc positive !)
Encore une fois on a P - P’ < 0 soit  P’ > P.
Ainsi, si a1 = a2 = … = ai et que aj > ai, alors il existe une décomposition faisant apparaitre (i+1) fois le même terme qui permet d’obtenir un meilleur produit.
Comme en 1) on a montré que a1 = a2, par récurrence, on montre que a1 = a2 = … = an.
Conclusion: la décomposition optimale de N est de la forme N = n * (N/n) avec n entier et le produit correspondant P = (N/n)^n.

3) Considérons la fonction f(x)=x^(N/x) avec x > 0
Sa dérivée est f’(x) = (N/x^2) * (1-ln x) * x^(N/x).
Comme pour tout x > 0, (N/x^2) et x^(N/x) sont strictement positifs, le signe de f’(x) est celui de (1-ln x). Ainsi:
- pour x compris entre 0 et e : f’(x) est strictement positif
- pour x = e : f’(x) = 0
- pour x supérieur à e : f’(x) est strictement négatif

f(x) admet donc un maximum en x = e.

4) Pour trouver la meilleure décomposition de N (qui est de la forme N = n * (N/n)) , il faut chercher le maximum de la suite (Pm) définie par:
Pm = (N/m)^m = f(N/m)
Cette suite est donc croissante tant que N/m est supérieur à e et décroit dès que N/m est inférieur à e (d’après létude de la fonction f).
Le produit maximal vaut alors :
P = max ((N/x)^x; (N/y)^y) avec x = int(N/e) et y = int(N/e) + 1

N.B. On ne peut conjecturer si c'est x ou y qui donne le meilleur produit en fonction de l'écart de N/x et N/x par rapport à e, car on ne s'approche pas du maximum avec la même "vitesse" que l'on vienne du côté où (N/m)>e ou du côté (N/m)<e.
Un bon contre-exemple est 53:
x = int (53/e)=19 et y = x+1 = 20
Bien que |53/x - e| > |53/y - e|, on a : (53/x)^x > (53/y)^y   

bonjour j arrive pas a un exercice de math silvouplai pouvai vou repondre a la question
la somme de 18 et du produit de 33 par 21 sai pour lundi silvouplais faite vite

Cette énigme a été remise sur le tapis grâce à dark-star donc je vais y apporter ma contribution.

Pour savoir quel chiffre est le plus rentable il faut aller voir au niveau des logarithmes : il est bien plus facile de mesurer le poids d'une addition que celui d'une multiplication :

L'efficacité de 1 est ln(1)/1=0

L'efficacité de 2 est ln(2)/2=0,347

L'efficacité de 3 est ln(3)/3=0,366

L'efficacité de 4 est ln(4)/4=0,347 (efficacité identique à celle de 2)

L'efficacité de 5 est ln(5)/5=0,322

On voit bien que 3 est le chiffre le plus efficace.

Pardon pour mes abus de langage.

En effet ma démonstration n'est pas rigoureuse mais elle a le mérite d'être plus parlante que celles énoncées plus haut.

Je vais maintenant essayer d'être un peu plus explicite :

Il s'agit de trouver le produit a1*a2*a3*...*an le plus grand possible. Étant donné que la fonction ln est strictement croissante sur R+*, cela revient au même de trouver la somme ln(a1*a2*a3*...*an)=ln(a1)+ln(a2)+ln(a3)+...+ln(an) la plus grande possible.

On peut maintenant effectuer le rapport entre la contribution d'un des termes ln(ai) et son coût ai (ai est pioché dans N).

D'où mon calcul pour savoir quel ai est le plus rentable.