Les réponses sont 2 et 3.
Pour n supérieur, le membre de gauche est toujours supérieur au membre de droite de sorte qu'il n'y a pas d'autre solution.

Pour [latex]n=3[/latex], l'équation est vérifiée...
[TeX]3$ (3+3)^3 = \sum_{k=3}^{5} k^3 \Leftrightarrow 6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3 \Leftrightarrow 216 = 216[/TeX]

Pour moi, la seule solution est 2... mais la case réponse me contredit.
J'attends avec impatience la réponse...

Ok j'ai déconné sur n=3... lamentable.

Bon allé un peu d'aide :

Spoiler : indice 1 Ce n'est pas un problème récurrent, mais le problème se résume en partie à ça, remarquez ensuite que :
Spoiler : indice 2 [latex]f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex] est dérivable sur, je vous laisse trouver...

Bravo à Yannek qui as réussit à trouver.
Papiauche, merci à toi mais dans ce cas il est préférable de dire : D'après ce site, il est indubitable que : les seules solutions sont 2 et 3

Bon allé voici une solution complète : (je ne sais pas faire le supérieur ou égal donc au lieu d'avoir p >= 5 j'ai simplement laissé > )

Pour [latex]n = 2[/latex] et [latex]n = 3[/latex] l’égalité est vérifiée, mais pas pour [latex]n = 1[/latex].
On remarque que pour [latex]n = 4[/latex] et [latex]n = 5[/latex] , on a: [latex](n+3)^n > 3^n + 4^n +... + (n+2)^n[/latex].

Hypothèse de récurrence [latex] P(p)[/latex] : [latex] 3^p +...+ (p+2)^p < (p+3)^p[/latex], où [latex]p > 5[/latex].

Démontrons alors que cette propriété reste vraie au rang p+1 c-a-d que :
[TeX]P(p+1)[/latex] : [latex] 3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < (p+4)^{p+1}[/latex].

Supposons que pour un certain entier [latex] p>5 [/latex] : [latex]3^p+...+(p+2)^p < (p+3)^p[/TeX]
On a en ajoutant [latex](p+3)^p[/latex] à chaque membre:
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+...+ (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p[/TeX]
Ecrivons alors la suite de [latex](p+3)[/latex] inégalités suivantes:
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 ( p+3)^p [/TeX]
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]3^p + 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]........ 4^p + 5^p+... + (p+2)^p + (p+3)^p < 2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................... 5^p+...+(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................................(p+2)^p + (p+3)^p <2 (p+3)^p[/TeX]
[TeX]................................................(p+3)^p <2 (p +3)^p[/TeX]
En ajoutant toutes ces inégalités (il y a [latex](p+3)[/latex] lignes et chaque terme [latex]k^p[/latex] est présent exactement k fois!)
on obtient :      [latex] 3^{p+1} + 4^{p+1} +...+ (p+3)^{p+1} < 2 (p+3)^{p+1}[/latex]

il y a plus qu’à montrer que [latex]2 (p+3)^{p+1} < (p+4)p^{p+1}[/latex] pour [latex]p>4[/latex], ce qui est équivalent à
[TeX]2<[(p+4)/(p+3)]^{p+1} (car (p+3)^{p+1} >0 )[/TeX]
OR! :

La fonction [latex]f(x)=(x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex] est dérivable sur sur [5 ; +oo[
On s’intéresse seulement à cet intervalle car p entier > 5 .
[TeX]f'(x)=ln(x+4)-ln(x+3)-\frac{x+1}{(x+3)(x+4)}[/TeX]
et
[TeX]f''(x)=-\frac{x^2-2x+6}{((x+3)(x+4))^2}[/TeX]
Donc [latex]f''(x) < 0[/latex] pour [latex]x > 5[/latex] et [latex]f'(x)[/latex] est décroissante sur [5 ; +oo[.
Sa limite en +oo est = 0+.  Donc [latex]f'(x) >0[/latex].
Donc [latex]f[/latex] est alors croissante sur [5; +oo[ et 5 est le minmum de [latex]f[/latex] sur [5, +oo[.
Or ; [latex]ln(2) < f(5)[/latex] (faire un calcul machine!) donc [latex]ln(2) < f(x)[/latex] pour tout [latex]x > 5[/latex] .
D'où sur [5 ; +oo[ , [latex]ln(2) < (x+1)*ln(\frac{x+4}{x+3})[/latex]

Donc [latex]2 < (\frac{x+4}{x+3})^{x+1}[/latex] d'où [latex]2(x+3)^{x+1} < (x+4)^{x+1}[/latex].

Pour tout p > 5 , si la propriété P(p) est héréditaire.
P(5) est vraie, donc elle est vraie pour tout p > 5 .

CONCLUSION FINALE :
Les seules entiers [latex]n[/latex] vérifiant [latex](n+3)^n = \sum_{k=3}^{n+2} k^n[/latex] sont 2 et 3

Je ne maîtrise pas encore parfaitement les balises latex, si ça peut vous soulager ce n'est pas moi qui est fait cette démonstration mais c'est plus jolie quand c'est bien présenté!!

Et à plus pour de nouvelles aventures

Ouai et encore là c'est compréhensible, parce que j'ai vu certaines corrections d'autres exercices du concours général benh ça fait vraiment très peur; pour imager c'est un peu comme mon orthographe