Enigme les boites de carton @ Prise2Tete

jeansayrien · #1

un petit commercant en bonbon a l'idée de se créer des petites boites ouvertes en carton pour son présentoire . Il achète pour ce faire une série de plaques en carton de 30 cm de côtés .
Il veut , avec chaque plaque , fabriquer des boites régulières de la plus grande capacité possible .
Pouvez-vous lui indiquer quel volume maximal il pourra obtenir ?

pop71 · #2

La largeur (comme la longueur car le carton est carré) se divise en 3 parties : 2 rebords égaux qui formeront les bords et une partie centrale qui formera le fond de la boîte.
En appelant a la longueur du fond (carré), b la longueur du rebord et l celle du carton, on a :
pour le coté : a + 2 b = l
pour le volume de la boîte : v = a^2 x b
en remplaçant b dans le volume : b=(l-a)/2
v devient : v=a^2 x (l-a)/2
soit : l x a^2 - a^3 = 2v
Le volume est extrême quand la dérivée est nulle :
v ext -> 2 a l - 3a^2 = 0 coef a^2<0 extremum = maximum
soit : 2 (2l - 3a)=0 -> a = 2 l / 3 -> b= l / 6 v= 2 l^3 / 27
Remarque : si la hauteur de la boîte était égale à sa largeur a=b=l/3, son volume serait seulement de:
a^2xb = l^3/27 soit la moitié du volume maximal.

dhrm77 · #3

On suppose que le but du probleme n'est pas de faire le plus possible de decoupage et de recollage, mais de faire une boite en faisant du pliage judicieux.

Une boite ouverte a 5 faces.
La plus grande boite que je trouve est carrée a la base, et ses dimensions sont de : 20 x 20 x 5
elle a donc un volume de 2000 cm3

C'est un excellent probleme.
A premiere vue, on croirait que la premiere solution qui saute aux yeux d'une boite de 10x10x10 est optimale avec un volume de 1000 cm3
En poussant un peu on trouve ensuite un cube de 1193.24 cm3 en decoupant la feuille a 45 degrés.
Puis en poussant un peu plus on se rend compte que dans ce cas precis, on peut faire mieux avec une boite dont la hauteur est la moitié des autres dimensions et on trouve 1414.213562373 cm3.

Mais enfin on peut se rendre compte qu'il n'est nul besoin de tourner la feuille a 45 degrés. En coupant dans le sens de la feuille on peut contruire une boite qui fasse jusqu'a 2000 cm3

Les coins de la feuille peuvent etre pliés pour renforcer les aretes.

Golfc · #4

Découpe un carré de 5 cm à chacun des angles du carton, relève les bords, et tu obtiens ainsi un volume de 2 litres.
Les dentistes te remercient....

LeSingeMalicieux · #5

Problème très compliqué, mais très prenant !

N'étant pas capable (la honte, j'ai beaucoup oublié de mes cours de maths) de le résoudre pour une base de la boîte rectangulaire, j'ai au moins une réponse pour une boîte avec une base de forme carrée.

Je pense que dans ce cas, la volume maximal serait de $45000 / sqrt(300)$ soit environ 2598,08cm².

zohum · #6

15*15*11,25=2531,25cm3 ?

MthS-MlndN · #7

Sur une boîte carrée de x centimètres de côté, il lui reste (30-x)/2 cm pour les rabats.

Le volume est donc V(x) = x²(30-x)/2

Ce volume est maximal si sa dérivée est nulle.

V(x) = 15 x² - x^3 / 2
V'(x) = 30 x - 3 x² / 2 = (60 x - 3 x²) / 2 = x (60 - 3 x) / 2

Vaut 0 si x = 0 (bof...) ou x = 20 cm

Alors les rabats font 5 centimètres de haut et le volume de la boîte créée est de 20 x 20 x 5 = 2000 cm^3.

jeansayrien · #8

Bonjour et félicitation a celles et ceux qui ont résolu cette petite énigme .
La réponse est bien 2000 cm³ .
Il faut poser que la longueur totale d'une feuille de carton vaut "x" de laquelle il faudra déduire 2 x "a" ; "a" étant la hauteur a déterminer .
il suffira ensuite de calculer la surface de la boite : ( x - 2a )²
ensuite le volume : v = (x-2a)² a
= ax² - 4a²x + 4a³
d'en calculer la dérivée première en "a" v' = x² - 8ax + 12a²
= 12a² - 8xa +x²
de calculer enfin les valeurs de "a" qui annulent cette dérivée ; elles sont 1/2 et 1/6 .
la valeur 1/2 donnera un volume nul ( et c'est logique car si la hauteur vaut la moitié de la longueur du carton , il n'y a plus de base ) .

petit probleme sympa
JS

LeSingeMalicieux · #9

dhrm77 a écrit:
On suppose que le but du probleme n'est pas de faire le plus possible de decoupage et de recollage, mais de faire une boite en faisant du pliage judicieux.

Ah ben tiens ça tombe mal, j'ai supposé exactement le contraire

Mais ça peut être une idée pour prolonger le problème...

zikmu · #10

Simple question à jeansayrien

A quoi sert ta case réponse ?

jeansayrien · #11

simple réponse a zikmu .

jeansayrien

zikmu · #12

Ok jeansayrien, maintenant j'y vois beaucoup plus clair...

Merci pour ta réponse...;o)

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