Enigme Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts 1/2 @ Prise2Tete

EfCeBa · #1

La démonstration n'est peut-être pas si simple, mais je vous propose de prouver une hypothèse mathématique. Elle dit que tout carré parfait supérieur à 10 (ie : 16, 25, 36 etc...) comporte dans son écriture décimale au moins deux chiffres distincts.

Auriez-vous une idée pour prouver ça ?

dhrm77 · #2

Je commencerais par examiner la proposition contraire, soit:
Un nombre qui n'a pas au moins 2 chiffres distincts, doit s'ecrire comme ca:
aa
aaa
aaaa
aaaaa
etc...
ou a est un nombre quelconque entre 1 et 9 inclus.
donc se nombre est un multiple de 11, ou 111, ou 1111, ou 11111, etc...
pour 2 chiffres c'est impossible puisque le premier carré multiple de 11 est 121 qui a 3 chiffres.
pour 3 chiffres, de meme puisque le premier carré multiple de 3*37 est 12321 qui a 5 chiffres.
donc en fait il faudrait trouver un nombre du type aaa...aaa qui contienne deja un carré
... a suivre...
de meme pour 4 chiffres...

moaflorent · #3

Bon j'ai tenté d'avancer un petit peu mais j'ai rien trouvé de bien rigoureux

alors déjà on a tous les cas suivants à éliminer

111111....
222222....
333333....
444444....
555555....
666666....
777777....
888888....
999999....

tout d'abord on cherche à quel nombre peut être congru un carré parfait

2*2 = 4
3*3 = 9
4*4=6[10]
5*5=5[10]
6*6=6[10]
7*7=9[10]
8*8=4[10]
9*9=1[10]

Donc un carré parfait est congru à 1,4,5,6,9

Reste donc
1111...
4444...
5555...
6666...
9999...

Si un nombre est un carré parfait sa décomposition en facteurs premiers ne comporte que des puissances paires

5555... = 5*1111... 1111... n'est pas divisible par 5 donc on peut l'éliminer

4444... = 2^2 * 1111... donc c'est un carré si 1111... est un carré
9999...=3^2*1111... donc on se ramène aussi au premier cas

Reste à étudier 11111.... et 6666....

Edit : en fait je peux aussi éliminer 666666... puisque divisible par 2 une seule fois

soit a tel que a*a = 111111....
on a forcément le chiffre que unités de a qui est un 9
on appelle k le chiffre des dizaines et on cherche k de façon à ce que le chiffre des dizaines de a² soit un 1 aussi

K 9
* K 9
----------
9k+8 1
K² 9K
----------------

on veut donc 18K+8 = 1[10]
--> 18 K =3[10]

Impossible car les multiples de 18 sont tous pairs

Et donc j'élimine le cas 1111....

Voilà, c'est tout ce que j'ai trouvé , j'imagine qu'il y a plus court et plus simple

MthS-MlndN · #4

Prenons un nombre supérieur à 10 formé d'un seul chiffre, comme 111 ou 999999999. Ce nombre est de la forme k * 111.......111 (111 = 1 * 111 ; 999999999 = 9 * 111111111). On limite donc le problème aux nombres uniquement formés de 1, en se demandant s'ils pourraient devenir des carrés en étant multipliés par un nombre plus petit que 10. Donc, peut-on avoir :

111...111 = a² * b avec b<10 ?..

La réponse me semble être non mais je ne vois pas encore de démonstration générale, j'y repense et je reviens

papiauche · #5

Intéressant

1°) Pour les nombres à deux chiffres:
16,25,36,49,64,81 c'est vite plié.

2°)On travaille alors sur le nombres de type

aaa...... (n fois a) = a* 111..... (n fois 1)

Les carrés se terminent nécessairement par 1,4,5,6 ou 9

Les nombres en 111.... ne sont divisibles ni par 5 ni par 6

Il nous reste a = 1,4 ou 9
Les nombres en 111... ne sont divisibles ni par 4 ni par 9.

Le problème se résume donc à traiter les cas 111...
Qu'on pourrait multiplier éventuellement par 2 ou par 3.

3°) Cas des 111.... (n fois)

Si le dernier chiffre du carré de k est 1 , alors le dernier chiffre de k est 1 ou 9.

Donc k = 10*m+1 ou k= 10*m-1
[TeX]k^2= 100 m^2 + 20 m +1[/TeX]
ou
[TeX]k^2= 100 m^2 - 20 m +1[/TeX]
Donc k est congru à 1 modulo 20
S'il est de la forme 111..., il est congru à 11 modulo 20

C'est incompatible.

Donc aucun nombre de type 111.. (n fois) ou aaa... (n fois) ne peut être un carré de nombres entiers.

LeSingeMalicieux · #6

Avec a et b entiers, je peux écrire chaque nombre entier (composé de deux chiffres) de cette façon : 10b + a
De la même manière avec les nombres à trois chiffres, quatre chiffres :
100c + 10b + a
1000b + 100c + a
etc

Prenons le problème à l'envers : cherchons un nombre composé d'un unique chiffre, qui serait un carré parfait. En prouvant que cela est impossible, on prouverait l'hypothèse que tu nous proposes.
On aurait donc un carré parfait égal à :
11a = 10a + a
111a = 100a + 10a + a
1111a = 1000a + 100a + 10a + a
etc (toujours avec a entier)

Il suffirait de prouver que tous ces nombres : 11 ; 111 ; 1111 ; etc , décomposés en facteurs premiers, ne peuvent être composés de deux groupes de facteurs premiers, auxquels on ajouterai le nombre a au second groupe pour que ces deux groupes soient identiques.
C'est juste une piste, une idée...

papiauche · #7

La chenille

Spoiler : [Afficher le message] modulo 20

MthS-MlndN · #8

papiauche a écrit:
Les nombres en 111... ne sont divisibles ni par 4 ni par 9.

Faux : 111111111 = 9 * 12345679 et tout nombre de ce genre dont le nombre de chiffres est un multiple de 9 est lui-même divisible par 9.

Le reste de ta démo, en revanche, tient parfaitement debout, félicitations !

EfCeBa · #9

Je suis bien embêté car je croyais avoir trouvé une démonstration simple, mais en fait elle était fausse et incomplète.

Je vais vous donner ce que j'ai gribouillé ensuite :

Tout nombre s'écrivant avec un seul chiffre est égal à k*111...111 avec k={1...9}

On distingue 2 cas :
1) - le cas k différent de 1, qui revient à prouver que 111...111 est divisible par k et que le facteur restant est un carré parfait.
Rapidement on peut éliminer k=2,4,5,6,8 car 111...111 n'est pas divisible par ces nombres par congruence.

2) - le cas ou k = 1 qui revient à prouver que 111...111 est un carré parfait.

Petit apercu de la décomposition en facteurs premiers :
11 = premier
111 = 3 * 37
1111 = 11 * 101
11111 = 41 * 271
111111 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37
1111111 = 239 * 4649
11111111 = 11 * 73 * 101 * 137
111111111 = 3^2 * 37 * 333667
1111111111 = 11 * 41 * 271 * 9091
11111111111 = 21649 * 513239
111111111111 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901
1111111111111 = 53 * 79 * 265371653
11111111111111 = 11 * 239 * 4649 * 909091
111111111111111 = 3 * 31 * 37 * 41 * 271 * 2906161
1111111111111111 = 11 * 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353
11111111111111111 = 2071723 * 5363222357
111111111111111111 = 3^2 * 7 * 11 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667
1111111111111111111 = premier
11111111111111111111 = 11 * 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
111111111111111111111 = 3 * 37 * 43 * 239 * 1933 * 4649 * 10838689
1111111111111111111111 = 11^2 * 23 * 4093 * 8779 * 21649 * 513239
11111111111111111111111 = premier
111111111111111111111111 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 73 * 101 * 137 * 9901 * 99990001
1111111111111111111111111 = 41 * 271 * 21401 * 25601 * 182521213001
11111111111111111111111111 = 11 * 53 * 79 * 859 * 265371653 * 1058313049
111111111111111111111111111 = 3^3 * 37 * 757 * 333667 * 440334654777631
1111111111111111111111111111 = 11 * 29 * 101 * 239 * 281 * 4649 * 909091 * 121499449
...

On pourrait prouver par congruence que ces nombres ont tous des facteurs récurrents :
- On peut éliminer tous les cas ou 111...111 a un nombre pair de chiffre, non multiple de 11. Car 111...111 = 10...101*11 n'est par multiple de 11.
- On peut aussi éliminer tous les cas ou 111...111 a un nombre de chiffre non multiple de 9. Car 3 sinon 3 est en facteur et jamais 3^2.
- De même 7 et 13 réapparaisent si 111...111 a un nombre multiple de 6.

Malheureusement, si on vois bien que l'on supprime de nombreux cas, on ne tend pas vers une démonstration rigoureuse...

papiauche · #10

MthS-MlndN a écrit:
papiauche a écrit:
Les nombres en 111... ne sont divisibles ni par 4 ni par 9.
Faux : 111111111 = 9 * 12345679 et tout nombre de ce genre dont le nombre de chiffres est un multiple de 9 est lui-même divisible par 9.

Le reste de ta démo, en revanche, tient parfaitement debout, félicitations !

J'avais raté le 9

111111111 = 9 * 12345679 et tout nombre de ce genre dont le nombre de chiffres est un multiple de 9 est lui-même divisible par 9.

Grâce à la preuve par neuf, comme tu le dis, on élimine tous les autres.
Comme le résultat se termine par 9, le quotient peut être divisible par 3 mais pas par 9, ce qui serait nécessaire pour obtenir un carré.

Je résume
k = 4,5 ou 6 facile
k= 9 complément supra

k=1 congruence modulo 20

dhrm77 · #11

Merci Papiauche pour cette brilliante demonstration..

papiauche a écrit:
Il nous reste a = 1,4 ou 9
Les nombres en 111... ne sont divisibles ni par 4 ni par 9.

Le problème se résume donc à traiter les cas 111...

Oui. le problème se résume donc à traiter les cas 111...
mais pas parce que "Les nombres en 111... ne sont divisibles ni par 4 ni par 9."

en fait si 4444..... est un carré, alors on peut l'ecrire :

4444... = (2*n)^2
soit :
1111... = n^2
meme chose pour le 9...
9999... = (3*n)^2
donc si 444... ou 999... (n chiffres) sont des carrés, alors, 111... (n chiffres) est aussi un carré, et il suffit de se concentrer sur les 1.

gabrielduflot · #12

Soit n un nombre alors [latex]n=a+10b+100c+1000d+10000e [/latex] avec a,b,c,d des nombres entre 0 et 9 et e un entier naturel
[TeX]n^2=(a+10b+100c+1000d+10000e)^2[/TeX]
[TeX]n^2a^2+(2ab)\times 10 + (b^2+2ac)\times 100 + 2(ad+bc)\times 1000 + 10000e'[/TeX]
Si a=1 alors a²=1 donc c'est impossible que le carré ait que des 1 car le chiffre des dizaines 2(ab) est pair
Si a=3 alors a²=9 donc c'est impossible que le carré ait que des 9 car le chiffre des dizaines 2(ab) est pair
Si a=5 alors a²=25 donc c'est impossible que le carré ait que des 5 car le chiffre des dizaines 2(ab) +2 est pair
Si a=7 alors a²=49 donc c'est impossible que le carré ait que des 9 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 4 est pair
Si a=9 alors a²=81 donc c'est impossible que le carré ait que des 1 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 8 est pair
Si a=4 alors a²=16 donc c'est impossible que le carré ait que des 6 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 1 est impair
Si a=6 alors a²=36 donc c'est impossible que le carré ait que des 6 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 3 est impair
Si a=2 alors a²=4 alors le chiffre des dizaines doit être 4 et donc 2ab=4 ou 14 ou 24 ou 34 avec a=2 donc b=1 ou b=6
Si b=1 alors b²+2ac=1+2ac ce qui est un nombre impair
Si b=6 alors [latex]6^2 + 2\times 2\times c+2=44 ou 54 ou 64 ou 74[/latex] donc [latex]4c=6 ou 16 ou 26 ou 36[/latex] donc c=4 ou 9
Si c=4 alors 2(ad + bc)+1 de la retenue est impair et non égal à 4
Si c=9 alors 2(ad + bc)+3 de la retenue est impair et non égal à 4
Si a=8 alors a²=64 alors le chiffre des dizaines doit être 4 et donc [latex]2\times 2\times b+6=14 ou 24 ou 34 ou 44 donc b=2 ou b=7 [/latex]
Si b=2 2ab + 1 est impair et non égal à 4
Si b=7 2ab + 3 est impair et non égal à 4

Donc tous les carrés contiennent au minimum 2 chiffres différents
CQFD si je ne me suis pas trompé dans ma logique.......................

McFlambi · #13

Ah mais je viens de comprendre que ce message etait ressorti de y a longtemps mais j'ai pas resiste....

gabrielduflot a écrit:
Soit n un nombre alors [latex]n=a+10b+100c+1000d+10000e [/latex] avec a,b,c,d des nombres entre 0 et 9 et e un entier naturel
[TeX]n^2=(a+10b+100c+1000d+10000e)^2[/TeX]
[TeX]n^2=a^2+(2ab)\times 10 + (b^2+2ac)\times 100 + 2(ad+bc)\times 1000 + 10000e'[/TeX]
Si a=1 alors a²=1 donc c'est impossible que le carré ait que des 1 car le chiffre des dizaines 2(ab) est pair
Si a=3 alors a²=9 donc c'est impossible que le carré ait que des 9 car le chiffre des dizaines 2(ab) est pair
Si a=5 alors a²=25 donc c'est impossible que le carré ait que des 5 car le chiffre des dizaines 2(ab) +2 est pair
Si a=7 alors a²=49 donc c'est impossible que le carré ait que des 9 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 4 est pair
Si a=9 alors a²=81 donc c'est impossible que le carré ait que des 1 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 8 est pair
Si a=4 alors a²=16 donc c'est impossible que le carré ait que des 6 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 1 est impair
Si a=6 alors a²=36 donc c'est impossible que le carré ait que des 6 car le chiffre des dizaines 2(ab) + 3 est impair
Si a=2 alors a²=4 alors le chiffre des dizaines doit être 4 et donc 2ab=4 ou 14 ou 24 ou 34 avec a=2 donc b=1 ou b=6
Si b=1 alors b²+2ac=1+2ac ce qui est un nombre impair
Si b=6 alors [latex]6^2 + 2\times 2\times c+2=44 ou 54 ou 64 ou 74[/latex] donc [latex]4c=6 ou 16 ou 26 ou 36[/latex] donc c=4 ou 9
Si c=4 alors 2(ad + bc)+1 de la retenue est impair et non égal à 4
Si c=9 alors 2(ad + bc)+3 de la retenue est impair et non égal à 4
Si a=8 alors a²=64 alors le chiffre des dizaines doit être 4 et donc [latex]2\times 2\times b+6=14 ou 24 ou 34 ou 44 donc b=2 ou b=7 [/latex]<-erreur ?
[Il me semble que ca devrait etre [latex]2\times 8\times b+6=24[/latex] etc. ]
Si b=2 2ab + 1 est impair et non égal à 4
Si b=7 2ab + 3 est impair et non égal à 4

Donc tous les carrés contiennent au minimum 2 chiffres différents
CQFD si je ne me suis pas trompé dans ma logique.......................

rivas · #14

J'ai beau relire le "fil", je ne suis pas sûr de voir une réponse définitive à la question.
Si je résume ce que j'ai vu (et avec quoi je suis d'accord), il suffit de montrer que les nombres ne s'écrivant (en base 10) qu'avec des '1' ne sont pas des carrés.
La démonstration a été apportée pour ce type de nombres lorsque le nombre de chiffres est pair (divisible par 11 mais pas par 11^2).
Il reste donc à examiner les nombres ayant un nombre impair de '1'.
On peut éliminer des sous-classes, par exemple:
nombre de chiffres multiple de 3 mais pas de 9 (divisible par 3 mais pas par 9)
nombre de chiffres de la forme 4k+3 (un carré n'est jamais congru à 3 modulo 4)

Mais je ne vois rien qui clos le débat. Ai-je manqué quelque chose?

Si non, l'ensemble restant le plus simple à décrire est: les nombres écrits en base 10 avec 4k+1 (5, 9, 13, ...) chiffres '1'.
Pour ces nombres, il ne semble pas exister de régularité de la décomposition en facteurs premiers. Il faut donc chercher ailleurs...

scarta · #15

J'avais loupé ce problème à l'époque ! Honte à moi.
Supposons qu'il existe un nombre X > 0 tel que X^2 s'écrive avec plusieurs fois le même chiffre uniquement

X = a+10b+100c, a et b étant des chiffres et c un nombre entier.
X^2 = a^2 + 10*(2ab) + 100*c'

Si a=1 ou a=3, le chiffre des unités est impair et le chiffre des dizaines vaut 2ab%10, qui est pair
Si a=5, le chiffre des unités est impair et le chiffre des dizaines vaut (2ab+2)%10, qui est pair
Si a=7, le chiffre des unités est impair et le chiffre des dizaines vaut (2ab+4)%10, qui est pair
Si a=9, le chiffre des unités est impair et le chiffre des dizaines vaut (2ab+8)%10, qui est pair
Si a=4, le chiffre des unités est pair et le chiffre des dizaines vaut (2ab+1)%10, qui est impair
Si a=6, le chiffre des unités est pair et le chiffre des dizaines vaut (2ab+3)%10, qui est impair
Conclusion: a=2 ou a=8 (bien sûr, on a aussi a=0, mais dans ce cas on aurait forcément X=0, qui n'est pas intéressant)
Si a=2 ou a=8, alors le chiffre des unités est 4, donc X^2=444...444, ou plus formellement, [latex]X^2 = \sum_{i=0}^{N}4.10^i = 4\sum_{i=0}^{N}10^i[/latex]

Donc X^2 /4 = (X/2)^2= 1111111..111. Comme X est pair, X/2 est entier et donc X/2 est aussi valide
Or X>0, donc X/2 < X. D'après l'argument de la descente infinie, on a une contradiction, donc aucun X ne peut exister.
CQFD

(Autre méthode pour la fin:
(X/2)^2 ne s'écrit qu'avec des 1, donc le chiffre des unités de X/2 est soit 1, soit 9.
Or, on a démontré plus haut que le chiffre des unités d'un tel nombre est forcément 2 ou 8, ce qui est absurde, CQFDbis)

rivas · #16

Salut scarta,

Merci pour cette démonstration. Pour être sûr d'avoir compris, voici quelques commentaires/questions.

scarta a écrit:
Supposons qu'il existe un nombre X > 0 tel que X^2 ne s'écrive qu'avec un seul chiffre en base 10

Je lis ça comme: "X^2 s'écrive avec plusieurs fois le même chiffre".

Dans ce cas, tu démontres dessous que dans plusieurs cas, ce chiffre unique est à la fois pair et impair en regardant les unités et les dizaines, ce qui est impossible. C'est bien ça?

Je pense que pour être tout à fait exact il faut écrire: "le chiffre des dizaines vaut le chiffre des unités de 2ab+?", car 2ab peut être >= 10. Le raisonnement reste valable.

Dans le cas a=4, le +1 vient de la retenue de 4^4=16, c'est bien ça?

Jusque la j'ai suivi.
Ensuite, je pense qu'on peut éviter la descente infinie dans le 1er cas en posant que X est le plus petit satisfaisant cette condition. Dans ce cas on trouve que X/2 aussi, contradiction.
La 2ème façon de conclure est bien aussi.

On peut aussi conclure différemment. On a montré dans le premier cas que si tu tel nombre existe il ne s'écrit qu'avec des '4' et dans ce cas on en exhibe un avec des '1': contradiction.

Merci encore.
Ce n'est pas l'approche à laquelle je pensais mais c'est très efficace.

scarta · #17

Merci pour ces remarques, rivas. J'ai corrigé les quelques imprécisions.
Ceci dit, la démonstration de la descente infinie se fait avec la notion de plus petit élément, donc on est équivalent là dessus.

Vasimolo · #18

J'avais proposé une solution assez courte au problème , elle est disparue lorsque j'ai quitté le forum en claquant la porte

Je la redonne pour ceux que ça intéresse .

En regardant les carrés des entiers modulo 100 , les seules possibilités pour obtenir les deux derniers chiffres identiques sont 00 ou 44 . Or si 44...4=4X11...1 est un carré alors 11...1 en est un aussi ce qui est contradictoire .

Vasimolo

rivas · #19

Ce sont les 2 dernières lignes de ma dernière réponse
On a eu la même idée...

papiauche · #20

Il me semble avoir proposé à l'époque, après un petit cafouillage pour réduire le problème au cas 111.. (n fois) une solution courte modulo 20.

Peu différente de celle de Vasimolo modulo 100.

Pour ma culture personnelle, cette solution est-elle fausse?

Vasimolo · #21

Pour moi c'est correct , on réduit à 11...1 et le modulo 20 suffit à montrer que c'est impossible

Vasimolo

rivas · #22

Pour moi aussi elle est correcte.

Je pense que je l'ai "oublié" dans mon résumé à cause d'une petit coquille qui porte à confusion quand on lit un peu vite. Je cite:

Donc k est congru à 1 modulo 20
S'il est de la forme 111..., il est congru à 11 modulo 20

Alors qu'il faut lire: Donc k^2 est congru à 1 modulo 20
(et comme étant de la forme 11...11 il est congru à 11 modulo 20, c'est impossible).

Désolé, rendons à papiauche ce qui appartient à papiauche...

papiauche · #23

Je me rappelle en avoir bavé des ronds de chapeaux à l'époque pour pondre dans les temps une réponse convenable et, une fois dépouillée de ses scories, correcte.
Quand le topic 'est remonté, j'ai été surpris...
Quoique les développements de scarta me ravissent à chaque fois.

Beaucoup moins disponible sur le forum maintenant, et avouons-le moins compulsif, je suis le fil avec un grand plaisir.

Les nouveaux esprits brillants m'impressionnent régulièrement.

Rivas, Klim, Arra, Vasi, piode et ses potes, et tous les gars que j'oublie, continuez, c'est top!

Les filles, ne vous laissez pas impressionner par la tendance matheuse du moment, tous ceux qui ont joué avec vous ont adoré ça.

Ce forum vit bien, à la fois battling et créatif.

Sincère salut au ch'Ef qui le guide d'un main ferme et pateline.

Le dinosaure du Gers vous adresse une bulle amicale

sosoy · #24

Contente d'avoir de vos nouvelles Monseigneur ! Vous nous (me) manquez !

Et hop !

scarta · #25

Sa sainteté est trop bonne Mon modeste niveau ne saurait égaler le sien
Sans rire, merci du compliment !

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#1 - 24-03-2009 23:03:50

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distinccts

#0 Pub

#2 - 25-03-2009 01:29:13

Tout craré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#3 - 25-03-2009 11:28:09

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux hiffres distincts

#4 - 25-03-2009 11:57:54

Tou carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#5 - 25-03-2009 21:27:58

Tout carré parfait s'écrit avec u moins deux chiffres distincts

#6 - 26-03-2009 20:53:53

Tot carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#7 - 26-03-2009 23:14:46

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chifres distincts

#8 - 27-03-2009 01:27:29

tout carré parfait s'écrit avec au moins drux chiffres distincts

papiauche a écrit:

#9 - 27-03-2009 09:39:32

Tout acrré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#10 - 27-03-2009 10:32:48

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chifffres distincts

MthS-MlndN a écrit:

papiauche a écrit:

#11 - 27-03-2009 12:23:42

tout catré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

papiauche a écrit:

#12 - 26-02-2010 12:28:27

tout carré parfaut s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#13 - 22-10-2010 01:53:54

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres ddistincts

gabrielduflot a écrit:

#14 - 22-10-2010 11:22:04

Tou carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#15 - 22-10-2010 15:34:16

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincst

#16 - 22-10-2010 15:53:28

tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres dustincts

scarta a écrit:

#17 - 22-10-2010 16:07:52

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres disincts

#18 - 23-10-2010 11:59:44

Tout carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffress distincts

#19 - 23-10-2010 12:13:15

Tout carré parfaait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#20 - 23-10-2010 13:29:44

Tut carré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#21 - 23-10-2010 19:36:48

Tout carré parfait 'sécrit avec au moins deux chiffres distincts

#22 - 25-10-2010 09:50:12

tout carré parfait s'écrit avec au moins deuw chiffres distincts

#23 - 25-10-2010 23:29:32

tout carré parfait s'écrit avec au mpins deux chiffres distincts

#24 - 26-10-2010 09:00:22

tout varré parfait s'écrit avec au moins deux chiffres distincts

#25 - 26-10-2010 10:00:59

tout carré parfait s'écrit avec au moins deuc chiffres distincts

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