Seules les portes 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 sont ouvertes.

Pour savoir si la porte est fermée ou ouverte il faut faire la décomposition en facteurs premiers de tous les nombres de 1 à 100. Si le nombre de diviseurs est pair la porte sera ouverte; si le nombre est impair alors la porte sera fermée.

Porte 1: 1 à un seul diviseur donc  la porte 1 est fermée
Porte 2: [latex]2=2^1[/latex] donc 2 a 2 diviseurs donc  la porte 2 est ouverte
Porte 3: [latex]3=3^1[/latex] donc 3 a 2 diviseurs donc  la porte 3 est ouverte
Porte 4: [latex]4=2^2[/latex] donc 4 a 3 diviseurs donc  la porte 4 est fermée
Porte 5: [latex]5=5^1[/latex] donc 5 a 2 diviseurs donc  la porte 5 est ouverte
Porte 6: [latex]6=2^1 \times 3^1[/latex] donc 6 a 4 diviseurs donc  la porte 6 est ouverte
Porte 7: [latex]7=7^1[/latex] donc 7 a 2 diviseurs donc  la porte 7 est ouverte
Porte 8: [latex]2=2^3[/latex] donc 8 a 4 diviseurs donc  la porte 8 est ouverte
Porte 9: [latex]9=3^2[/latex] donc 9 a 3 diviseurs donc  la porte 9 est fermée
Porte 10: [latex]10=2^1 \times 5^1[/latex] donc 10 a 4 diviseurs donc  la porte 10 est ouverte
Porte 11: [latex]11=11^1[/latex] donc 11 a 2 diviseurs donc  la porte 11 est ouverte
Porte 12: [latex]12=2^2 \times 3^1[/latex] donc 12 a 6 diviseurs donc  la porte 12 est ouverte
Porte 13: [latex]13=13^1[/latex] donc 13 a 2 diviseurs donc  la porte 13 est ouverte
Porte 14: [latex]14=2^1 \times 7^1[/latex] donc 14 a 4 diviseurs donc  la porte 14 est ouverte
Porte 15: [latex]15=3^1 \times 5^1[/latex] donc 15 a 4 diviseurs donc  la porte 15 est ouverte
Porte 16: [latex]16=2^4[/latex] donc 16 a 5 diviseurs donc  la porte 16 est fermée
Porte 17: [latex]17=17^1[/latex] donc 17 a 2 diviseurs donc  la porte 17 est ouverte
Porte 18: [latex]18=2^1 \times 3^2[/latex] donc 18 a 6 diviseurs donc  la porte 18 est ouverte
Porte 19: [latex]19=19^1[/latex] donc 19 a 2 diviseurs donc  la porte 19 est ouverte
Porte 20: [latex]20=2^2 \times 5^1[/latex] donc 20 a 6 diviseurs donc  la porte 20 est ouverte
Porte 21: [latex]21=3^1 \times 7^1[/latex] donc 21 a 4 diviseurs donc  la porte 21 est ouverte
Porte 22: [latex]22=2^1 \times 11^1[/latex] donc 22 a 4 diviseurs donc  la porte 22 est ouverte
Porte 23: [latex]23=23^1[/latex] donc 23 a 2 diviseurs donc  la porte 23 est ouverte
Porte 24: [latex]24=2^3 \times 3^1[/latex] donc 24 a 8 diviseurs donc  la porte 24 est ouverte
Porte 25: [latex]25=5^2[/latex] donc 25 a 3 diviseurs donc  la porte 25 est fermée
Porte 26: [latex]26=2^1 \times 13^1[/latex] donc 26 a 4 diviseurs donc  la porte 26 est ouverte
Porte 27: [latex]27=3^3[/latex] donc 27 a 4 diviseurs donc  la porte 27 est ouverte
Porte 28: [latex]28=2^2 \times 7^1[/latex] donc 28 a 6 diviseurs donc  la porte 28 est ouverte
Porte 29: [latex]29=29^1[/latex] donc 29 a 2 diviseurs donc  la porte 29 est ouverte
Porte 30: [latex]30=2^1 \times 3^1 \times 5^1[/latex] donc 30 a 8 diviseurs donc  la porte 30 est ouverte
Porte 31: [latex]31=31^1[/latex] donc 31 a 2 diviseurs donc  la porte 31 est ouverte
Porte 32: [latex]32=2^5[/latex] donc 32 a 6 diviseurs donc  la porte 32 est ouverte
Porte 33: [latex]33=3^1 \times 11^1[/latex] donc 33 a 4 diviseurs donc  la porte 33 est ouverte
Porte 34: [latex]34=2^1\times 17^1[/latex] donc 34 a 4 diviseurs donc  la porte 34 est ouverte
Porte 35: [latex]35=5^1\times 7^1[/latex] donc 35 a 4 diviseurs donc  la porte 35 est ouverte
Porte 36: [latex]36=2^2\times 3^2[/latex] donc 36 a 9 diviseurs donc  la porte 36 est fermée
Porte 37: [latex]37=37^1[/latex] donc 37 a 2 diviseurs donc  la porte 37 est ouverte
Porte 38: [latex]38=2^1\times 19^1[/latex] donc 38 a 4 diviseurs donc  la porte 38 est ouverte
Porte 39: [latex]39=3^1\times13^1[/latex] donc 39 a 4 diviseurs donc  la porte 39 est ouverte
Porte 40: [latex]40=2^2\times 5^1[/latex] donc 40 a 6 diviseurs donc  la porte 40 est ouverte
Porte 41: [latex]41=41^1[/latex] donc 41 a 2 diviseurs donc  la porte 41 est ouverte
Porte 42: [latex]42=2^1\times3^1\times7^1[/latex] donc 42 a 8 diviseurs donc  la porte 42 est ouverte
Porte 43: [latex]43=43^1[/latex] donc 43 a 2 diviseurs donc  la porte 43 est ouverte
Porte 44: [latex]44=2^2\times11^1[/latex] donc 44 a 6 diviseurs donc  la porte 44 est ouverte
Porte 45: [latex]45=3^2\times5^1[/latex] donc 45 a 6 diviseurs donc  la porte 45 est ouverte
Porte 46: [latex]46=2^1\times23^1[/latex] donc 46 a 4 diviseurs donc  la porte 46 est ouverte
Porte 47: [latex]47=47^1[/latex] donc 47 a 2 diviseurs donc  la porte 47 est ouverte
Porte 48: [latex]48=2^4\times3^1[/latex] donc 48 a 10 diviseurs donc  la porte 48 est ouverte
Porte 49: [latex]49=7^2[/latex] donc 49 a 3 diviseurs donc  la porte 49 est fermée
Porte 50: [latex]50=2^1\times5^2[/latex] donc 50 a 6 diviseurs donc  la porte 50 est ouverte
Porte 51: [latex]51=3^1\times 17^1[/latex] donc 51 a 4 diviseurs donc  la porte 51 est ouverte
Porte 52: [latex]52=2^2\times13^1[/latex] donc 52 a 6 diviseurs donc  la porte 52 est ouverte
Porte 53: [latex]53=53^1[/latex] donc 53 a 2 diviseurs donc  la porte 52 est ouverte
Porte 54: [latex]54=2^1\times3^3[/latex] donc 54 a 8 diviseurs donc  la porte 54 est ouverte
Porte 55: [latex]55=5^1\times11^1[/latex] donc 55 a 4 diviseurs donc  la porte 55 est ouverte
Porte 56: [latex]56=2^3\times7^1[/latex] donc 56 a 8 diviseurs donc  la porte 56 est ouverte
Porte 57: [latex]57=3^1\times19^1[/latex] donc 57 a 4 diviseurs donc  la porte 57 est ouverte
Porte 58: [latex]58=2^1\times29^1[/latex] donc 58 a 4 diviseurs donc  la porte 58 est ouverte
Porte 59: [latex]59=59^1[/latex] donc 59 a 2 diviseurs donc  la porte 59 est ouverte
Porte 60: [latex]60=2^2\times3^1\times5^1[/latex] donc 60 a 12 diviseurs donc  la porte 60 est ouverte
Porte 61: [latex]61=61^1[/latex] donc 61 a 2 diviseurs donc  la porte 61 est ouverte
Porte 62: [latex]62=2^1\times 31^1[/latex] donc 62 a 4 diviseurs donc  la porte 19 est ouverte
Porte 63: [latex]63=3^2\times7^1[/latex] donc 63 a 6 diviseurs donc  la porte 63 est ouverte
Porte 64: [latex]64=2^6[/latex] donc 64 a 7 diviseurs donc  la porte 64 est fermée
Porte 65: [latex]65=5^1\times13^1[/latex] donc 65 a 4 diviseurs donc  la porte 65 est ouverte
Porte 66: [latex]66=2^1\times3^1\times11^1[/latex] donc 66 a 8 diviseurs donc  la porte 66 est ouverte
Porte 67: [latex]67=67^1[/latex] donc 67 a 2 diviseurs donc  la porte 67 est ouverte
Porte 68: [latex]68=2^2\times17^1[/latex] donc 68 a 6 diviseurs donc  la porte 68 est ouverte
Porte 69: [latex]69=3^1\times23^1[/latex] donc 69 a 4 diviseurs donc  la porte 69 est ouverte
Porte 70: [latex]70=2^1\times5^1\times7^1[/latex] donc 70 a 8 diviseurs donc  la porte 70 est ouverte
Porte 71: [latex]71=71^1[/latex] donc 71 a 2 diviseurs donc  la porte 71 est ouverte
Porte 72: [latex]72=2^3\times3^2[/latex] donc 72 a 12 diviseurs donc  la porte 72 est ouverte
Porte 73: [latex]73=73^1[/latex] donc 73 a 2 diviseurs donc  la porte 73 est ouverte
Porte 74: [latex]74=2^1\times37^1[/latex] donc 74 a 4 diviseurs donc  la porte 74 est ouverte
Porte 75: [latex]75=3^1\times5^2[/latex] donc 75 a 6 diviseurs donc  la porte 75 est ouverte
Porte 76: [latex]76=2^2\times19^1[/latex] donc 76 a 6 diviseurs donc  la porte 76 est ouverte
Porte 77: [latex]77=7^1\times11^1[/latex] donc 77 a 4 diviseurs donc  la porte 77 est ouverte
Porte 78: [latex]78=2^1\times39^1[/latex] donc 78 a 4 diviseurs donc  la porte 78 est ouverte
Porte 79: [latex]79=79^1[/latex] donc 79 a 2 diviseurs donc  la porte 79 est ouverte
Porte 80: [latex]80=2^4\times5^1[/latex] donc 80 a 10 diviseurs donc  la porte 80 est ouverte
Porte 81: [latex]81=3^4[/latex] donc 81 a 5 diviseurs donc  la porte 81 est fermée
Porte 82: [latex]82=2^1\times41^1[/latex] donc 82 a 4 diviseurs donc  la porte 82 est ouverte
Porte 83: [latex]83=81^1[/latex] donc 83 a 2 diviseurs donc  la porte 83 est ouverte
Porte 84: [latex]84=2^2\times3^1\times7^1[/latex] donc 84 a 12 diviseurs donc  la porte 84 est ouverte
Porte 85: [latex]85=5^1\times17^1[/latex] donc 85 a 4 diviseurs donc  la porte 85 est ouverte
Porte 86: [latex]86=2^1\times43^1[/latex] donc 86 a 4 diviseurs donc  la porte 86 est ouverte
Porte 87: [latex]87=3^1\times29^1[/latex] donc 87 a 4 diviseurs donc  la porte 87 est ouverte
Porte 88: [latex]88=2^3\times11^1[/latex] donc 88 a 8 diviseurs donc  la porte 88 est ouverte
Porte 89: [latex]89=89^1[/latex] donc 89 a 2 diviseurs donc  la porte 89 est ouverte
Porte 90: [latex]90=2^1\times3^2\times5^1[/latex] donc 90 a 12 diviseurs donc  la porte 90 est ouverte
Porte 91: [latex]91=91^1[/latex] donc 91 a 2 diviseurs donc  la porte 91 est ouverte
Porte 92: [latex]92=2^2\times23^1[/latex] donc 92 a 6 diviseurs donc  la porte 92 est ouverte
Porte 93: [latex]93=3^1\times31^1[/latex] donc 93 a 4 diviseurs donc  la porte 93 est ouverte
Porte 94: [latex]94=2^1\times47^1[/latex] donc 94 a 4 diviseurs donc  la porte 94 est ouverte
Porte 95: [latex]95=5^1\times19^1[/latex] donc 95 a 4 diviseurs donc  la porte 95 est ouverte
Porte 96: [latex]96=2^5\times3^1[/latex] donc 96 a 12 diviseurs donc  la porte 96 est ouverte
Porte 97: [latex]97=97^1[/latex] donc 97 a 2 diviseurs donc  la porte 97 est ouverte
Porte 98: [latex]98=2^1\times49^1[/latex] donc 98 a 4 diviseurs donc  la porte 98 est ouverte
Porte 99: [latex]99=3^2\times11^1[/latex] donc 99 a 6 diviseurs donc  la porte 99 est ouverte
Porte 100: [latex]100=2^2\times5^2[/latex] donc 100 a 9 diviseurs donc  la porte 100 est fermée

ConclusionAprès 100 passages il y a toutes les portes qui sont ouvertes sauf les portes 1;4;9;16;25;36;49;64;81;100

Ou pour aller plus vite
Sachant que le nombre de diviseurs d'un nombre est impair pour que la porte soit fermée alors si n est un nombre alors n=[latex]\prod_i a_i^{n_i}[/latex] avec [latex]a_i[/latex] nombre premier et [latex]n_i[/latex] un nombre alors le nombre de diviseurs d'un nombre est [latex]\prod_i(n_i+1)[/latex]
Pour qu'un produit soit impair il faut que tous les facteurs soient impairs donc il faut que les [latex]n_i[/latex]soit pair donc il existe [latex]m_1;m_2;.....;m_i[/latex] tel que n=[latex]\prod_i a_i^{2m_i}[/latex]=[latex](\prod_i a_i^{m_i})^2[/latex] donc n est un carré parfait.

Alors les seules portes fermées après 100 passages sont les portes n° 1;4;9;16;25;36;49;64;81;100

D'après l'énoncé, on modifiera le statut de la porte p au passage n si n est un diviseur de p.
Le nombre de changement d'état de la porte p est donc égal au Cardinal des diviseurs de p compris entre 1 et 100, c'est à dire au Cardinal des diviseurs de p (car ils sont tous inférieurs ou égaux à p donc inférieurs ou égaux à 100).

Si ce nombre de changement d'état est pair, la porte est fermée (comme avant le premier passage), s'il est impair, la porte est ouverte.

Pour tout diviseur d de p, c=p/d est également un diviseur.
Les diviseurs sont donc en nombre pair si pour tout diviseur d, c est différent de d, c'est-à-dire si p n'est pas un carré parfait.
Les diviseurs sont en nombre impair si p est un carré parfait.

Conclusion : les portes 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100 sont ouvertes à la fin, les autres sont fermées.

il suffit de connaitre la parité du nombre de diviseur de chacun des numéros de portes. (en gros de trouver le nombre de fois ou elles seront manipulées)

pair : fermé
impair : ouverte.

exemples :
1 => 1 diviseur => ouverte.
12 => 6 diviseurs (1-2-3-4-6-12) => fermé.

apres ben j'ai la flemme de tous les faire

Au centièmme passage,

les portes ouvertes seront : 1   4   9   16   25   36   49   64   81   100

Les autres seront fermées.

La porte 1 sera ouverte une fois pour toutes, la 2 et la 3 fermées . Les autres portes dont le n° est un nbre premier seront fermées et les autres portes dont le n°est un nbre ayant un nombre de diviseurs pair seront fermées. Celles dont le nbre de diviseurs est impair seront ouvertes.

Les portes ouvertes seront les portes 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 71 et 90.

La règle est la suivantes :
La prochaine porte ouvertes est :
le numéro de la derniere porte ouverte + 2*le nombre de porte resté ouvertes + 1

Ainsi : au 49ième tour, on ouvre de façon définitive la porte 49, qui est la 7ième portes restant ouverte, la prochaine porte ouverte sera : 49+2*7+1=64

Si je ne me trompe pas, toutes les portes sont fermées sauf les portes ayant comme numéro un carré à savoir : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.

Selon moi  toutes les portes seront fermées à l'exception de celles dont le numéro correspond à un carré parfait

Je m'explique prenons le nombre A
on A = a*b = c*d =....
Comme la multiplication est commutative on a aussi
A = b*a = d*c =....

du coup la porte s'ouvre au aème passage et se referme au bème passage

(je sens que je ne suis pas clair là - dites le moi ....)

Or pour les carrés parfaits on a=b du coup la porte ne peut que s'ouvrir et ne se refermera pas

Finalement on a comme portes ouvertes les portes

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100

oannes a écrit:

Comme il m'arrive parfois de me fier à mon instinct, et me disant qu'à la fin, on ferme les portes une par une depuis 50 essais (edit: ce raisonnement stupide vous a été offert par oannès le naïf), que le truc me semble rébarbatif (j'avais commencé une petite feuille -pour info, j'ai décimé trois chênes depuis que je suis inscrit ), je me laisse tenter par la réponse:

On est revenus à la case départ!

Et si j'ai faux, c'est l'inverse.

Non?

Edit: ah non, une porte sur deux d'ouverte (ou fermée, ça dépend de l'humeur) Explication: on ouvre des portes ouvertes et on ferme des portes fermées depuis trop longtemps

Edit2: mon raisonnement ne tient pas et je sens que si je suis le seul à le faire à la main, je vais passer pour un gogole.

Je suis là pour que votre aisance de raisonnement soit mise en valeur.

C'est ce que je me suis dit et en plus Musset a dit "Il faut qu'une porte soit ouvert ou fermée", alors !.

Tu m'étonnes qu'il n'y a plus de Sphynx sur terre...

parce que le Sphynx terre

Je crois que l'on va la mettre dans les anales de P2T