Soit un nombre n = 10x + y (on prendra 0 <= y <= 9, mais c'est pas obligé hein)

n = 10x+y = 10x - 20y + 20y + y = 10 (x-2y) + 21y

Si n%7 = 0, alors (x-2y) % 7 = 0 aussi (car 21%7 = 0 et 10 et 7 sont premiers entre eux).
Si n%7 <> 0, alors (x-2)%7 <> 0 aussi, pour les memes raisons.
Conclusion: 7|n <=> 7|x-2y

Attention, ça ne veut pas dire que 10x+y = x-2y [7], c'est seulement vrai pour des multiples de 7.

D'où sort-il cette recette miracle ???

D'Internet

Soit a un nombre alors a=10d+u
Montrons que si a=0 mod(7) alors d - 2u=0 mod(7)
et donc d-2u mod(7)=d+5u mod(7)=10d+50u mod(7)=10d+u mod(7)=a mod (7)
donc si a=0mod(7) alors d-2u=0mod(7)

De la même manière
a mod 7=100c+d mod 7= (7*14+2)c+d mod 7=2c + d mod 7
Donc si a est divisible par 7 alors 2 fois le nb de centaines + le nombre de dizaines sera divible par 7

a mod 7=1000 m + c mod 7=(7*143 - 1)m + c mod 7=c-m mod 7
Donc Si a est divisible par 7 alors le nombre de centaines - le nombre de milliers est divisible par 7

etc....

D'après la méthode si je ne sais pas directement dire si x est un multiple de 7 je découpe x après le chiffre des unités : x=10n+d. Puis je m'intéresse au nombre x'=n-2d. On a donc x = 10x'+21d=10x'+7*3d. Comme 10 et 7 sont premiers entre eux alors effectivement x est divisible par 7 ssi x' l'est aussi.

Joli comme critère .

Je connaissais un autre basé sur le même principe que le critère pour 9 et 11.
On constate que 1000=-1 modulo 7. On découpe le nombre par paquet de 3 chiffres et on ajoute ou retranche alternativement les paquets en commence par ajouter celui le plus a droite.

x = n0*1000^0 + n1*1000^1 + n2*1000^2 ...
  = n0*1+n1*-1+n2*(-1)^2 ... modulo 7


9823749573958 = 9 823 749 573 958

958 - 573 + 749 - 823 + 9 = 320

320 est pas multiple de 7 donc 9823749573958 non plus.

Remarquez que 1000=-1 modulo 13 aussi. Donc une fois le nombre réduit on peut rapidement tester la divisibilité par 7 et 13.

320 n'est pas multiple de 13 donc 9823749573958 non plus