Tout nombre premier supérieur ou égal a 3 est impair, donc congru a 1, 3, 5 ou 7 modulo 8.

Son carré est donc congru a 1, 9, 25 ou 49 modulo 8, or ces quatre nombres sont congrus a 1 modulo 8.

Le carré d'un nombre impair est donc congru a 1 modulo 8.



Tout nombre premier supérieur ou égal a 5 est congru a 1 ou 2 modulo 3, donc son carré, de la même façon, est congru a 1 modulo 3.



Donc tout nombre premier p supérieur ou égal a 5 est tel que [latex]p^2-1[/latex] est divisible par 24.

En voilà une qui est facile, dès que l'on sait que [latex]p^2-1 = (p-1)(p+1)[/latex]

a) p premier > 5 donc p-1 ou p+1 est multiple de 3.
b) p premier > 5 donc p impair, donc p-1 et p+1 sont deux entiers pairs consécutifs, donc l'un est multiple de 4 et l'autre est multiple de 2.

Finalement, (p-1)(p+1) est donc multiple de 3*2*4=24.

Et hop !
Klim.

p étant premier, il ne peut être divisible par un nombre premier inférieur.
p n'est donc multiple ni de 2, ni de 3.

p²-1 =(p-1)(p+1) est donc un produit de deux nombres pairs consécutifs dont l'un est forcément multiple de 4. Le produit est donc multiple de 8.

p ne pouvant être multiple de 3, c'est soit p-1 soit p+1 qui l'est. Le produit est donc également multiple de 3.

8 et 3 étant premiers entre eux, tout multiple commun est également multiple de leur produit (24).

p²-1 = (p+1)(p-1)

p étant premier et supérieur ou égal à 5, il est forcément impair (le cas p=2 est éliminé) et donc p+1 et p-1 sont pairs. De plus les nombres pairs sont une fois sur 2 multiples de 4, donc (p+1)(p-1) et multiple de 2 et de 4, donc p²-1 est multiple de 8

De plus p n'est pas multiple de 3 (le cas p=3 est éliminé) donc soit p-1 est multiple de 3, soit c'est p+1, donc p²-1 et forcément multiple de 3

Ces deux affirmations permettent de conclure que p²-1 est multiple de 24, pour tout p premier supérieur ou égal à 5

Si [latex]p^2-1[/latex] est divisible par 24 alors il est divisible par 3 et par 8 car 3*8=24

Soit [latex]p=3k+n, \text{ } n \in \mathbb{N}[/latex] alors [latex]\forall p \in \mathbb{N}[/latex] alors [latex]p[/latex] est un multiple de 3.

Soit [latex]p=8k+n, \text{ } n \in \mathbb{N}[/latex] alors [latex]\forall p \in \mathbb{N}[/latex] alors [latex]p[/latex] est un multiple de 8.

Comme p est multiple de 3 et de 8 alors il est divisible par 24.

Amusant
Sahdock

En factorisant, il vient :  p²-1=(p-1)(p+1)

Ces deux facteurs, sont deux nombres pairs consécutifs (p premier supérieur ou égal à 5). Donc un de ces facteurs est un multiple de 4. Bref p²-1 est un multiple de 8.

Par ailleurs, parmi les trois nombres consécutifs p-1, p, p+1, l'un d'entre eux est un multiple de 3 mais ce n'est pas p (car p est premier supérieur ou égal à 5). Bref, p²-1 est un multiple de 3.

Gauss permet de conclure.

p²-1=(p+1)(p-1)

Si p est premier, il est impair, donc (p+1) et (p-1) sont pairs, l'un des deux est même multiple de 4.

(p-1) ou (p+1) est divisible par 3, sinon p le serait, contradiction avec p premier ≥ 5.

Donc p²-1 est divisible par 24 pour tout p ≥ 5.

Bonsoir,

Tous les nombres premiers sauf 2 sont impairs.

Donc
[TeX]p=2k+1[/TeX]
et
[TeX]p^2-1=(p-1)(p+1)=2k(2k+2)=4k(k+1)[/TeX]
[latex]k[/latex] et[latex] k+1[/latex] étant des entiers consécutifs, l'un d'entre eux est pair.
Donc [latex]p^2-1 [/latex] est finalement multiple de 8.

D'autre part,[latex] p-1[/latex] ,[latex] p[/latex] et [latex]p+1[/latex]sont trois entiers consécutifs ; l'un d'entre eux est multiple de 3 et ce n'est pas [latex]p[/latex] qui est premier et strictement supérieur à 3.

Notre nombre [latex]p^2-1[/latex] est multiple de 8 et de 3 qui sont premiers entre eux.
Il est donc multiple de 24.

Thérèse

p, étant premier >=5, n'est ni pair, ni divisible par 3.
p non pair donc p+1 et p-1 sont pairs et l'un des 2 est même divisible par 4. Donc (p - 1) (p + 1) est divisible par 8.
p n'est pas divisible par 3 donc soit p - 1 soit p + 1 sont divisible par 3. Donc (p - 1) (p + 1) est divisible par 3.

Donc p² -1 = (p - 1) (p + 1) est divisible par 24.

Qu'en est-il de la réciproque ???

Est-ce que pour tout entier n>0, si [latex]p=sqrt(24n+1)[/latex] est entier, alors p est premier ???

J'avais mis premier pour brouiller les pistes, non multiple de 3 impair suffit.
Bravo à tous.