On décompose en facteur premier 360 soit :
[TeX]360=36*10=6*6*5*2=2*5*6^2[/TeX]
Les diviseurs de 360 sont donc : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Après il faut trouver la sommes des trois angles qui font 180° mais ça c'est une autre affaire...
A plus
Shadock

Les diviseurs de 360 sont:
1-2-3-4-5-6-8-9-10-12-15-18-20-24-30-36-40-45-60-72-90-120-180-360
Dans un triangle la somme des angles est égale à 180. Donc il y a les triangles dont les angles sont:
120-45-15
120-40-20
120-36-24
120-30-30
90-72-18
90-60-30
90-45-45
72-72-36
60-60-60

Donc il existe 9 triangles différents

Beaucoup:)
Non, je vais réfléchir à la question

Techniquement, une infinité, mais ce n'est probablement pas la réponse que tu attends.

Un petit code (fait en deux minutes) m'en donne 9, avec les angles suivants :

15          45         120
18          72          90
20          40         120
24          36         120
30          30         120
30          60          90
36          72          72
45          45          90
60          60          60

Problème : la case réponse valide 10, donc je me demande ce que j'ai raté...

Autre approche. Les diviseurs de 360, différents de 180 et 360 bien sûr, sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120. Je prends trois de ces diviseurs a, b et c, tels que a<=b<=c, et dont la somme fait 180. Résultat obtenu en faisant boucler ça ? Exactement le même. Et toujours 9 solutions.

Il en existe vraiment une dixième ?..

Bonjour à tous,
Curieusement (et je présens déjà une polémique à ce sujet), vous avez tous trouvé le même nombre de triangles (pour gwen, j'ai enlevé celui avec un angle de 48°: cette petite coquille corrigée le ramène aussi au même nombre).
Et pourtant, je trouve un triangle de plus, possédant deux angles distincts qui, bien que divisant 360° en un nombre entier d'angles, ne s'expriment pas en nombre entier de degrés.
Je réfléchis encore un peu si ma solution répond réellement à l'énoncé. Pour info, je n'ai pas cité le nombre d'angles en question pour éviter de le révéler à ceux qui chercheraient encore.
A+
Frank

@masab
Un diviseur est donc forcément un entier et tu as "vocabulairement" raison.
Suivant mon idée, j'aurais dû indiquer un angle plan (faisant un tour complet) au lieu d'écrire 360 degrés (ou 400 grades ou 2.pi radians): je voulais que ce tour complet
soit divisé en un nombre entier (dont l'angle résultant exprimé en degrés ne serait donc pas forcément un entier). Je ne sais pas si je suis vraiment clair.
Edit: j'ai modifié l'énoncé.

Oups ! Qu'est-ce qu'il fait là ce 48 ? La prochaine fois je prendrai un tableur...

Tu parles d'un triangle plat pour le dixième en considérant 360 au lieu de 0° ?
C'est discutable...

Franky1103 a écrit:

Curieusement...
Je trouve un triangle de plus, possédant deux angles distincts qui, bien que divisant 360° en un nombre entier d'angles, ne s'expriment pas en nombre entier de degrés.

Donc qui ne sont pas des diviseurs.
Curieusement, la majorité a eu raison cette fois-ci

Si on part sur les aliquotes, la question devient "trouver trois fractions de la forme 1/a dont la somme fait 1/2", et il y en a, euh... Un certain nombre...

1/3+1/7+1/42
1/3+1/8+1/24
1/3+1/9+1/18
1/3+1/10+1/15
1/3+1/12+1/12
1/4+1/5+1/20
1/4+1/6+1/12
1/4+1/8+1/8
1/5+1/5+1/10
1/6+1/6+1/6

Et voilà les dix solutions. Multiplier par 360 pour trouver les vrais angles, bien sûr La dixième correspond à la première ligne de cette liste, avec un angle de 120° et les deux autres valant approximativement 51,43° et 8,57°.

Pas mal de participation cette fois: merci à tous.
@ mathias & gwen: ben, le voilà, le dernier triangle auquel je pensais
@ masab, gabrielduflot, cyprino & nickogecko: si on remplace diviseurs par aliquotes (voir énoncé modifié), il y a un triangle supplémentaire qui traîne
@ nodgim: il semble bien qu'il y ait une nuance entre diviseurs et aliquotes (si tant est
que la majorité l'accepte)
@ shadock & promath: alors, vous la crachez votre valda

un peu en retard:

liste des triangles dont les angles divisent 360 degrés:
15 45 120
18 72 90
20 40 120
24 36 120
30 30 120
30 60 90
36 72 72
45 45 90
60 60 60

Ah oui, c'est vrai, il y a un dixième triangle ( TC/3, TC/7 et TC/42) :

TRIANGLE    1 : 120.000  51.429   8.571 ->   3   7  42.

TRIANGLE    2 : 120.000  45.000  15.000 ->   3   8  24.
TRIANGLE    3 : 120.000  40.000  20.000 ->   3   9  18.
TRIANGLE    4 : 120.000  36.000  24.000 ->   3  10  15.
TRIANGLE    5 : 120.000  30.000  30.000 ->   3  12  12.
TRIANGLE    6 :  90.000  72.000  18.000 ->   4   5  20.
TRIANGLE    7 :  90.000  60.000  30.000 ->   4   6  12.
TRIANGLE    8 :  90.000  45.000  45.000 ->   4   8   8.
TRIANGLE    9 :  72.000  72.000  36.000 ->   5   5  10.
TRIANGLE   10 :  60.000  60.000  60.000 ->   6   6   6.

J'aime bien cet énigme.

Merci à tous pour votre participation et voici, en cas de besoin, la solution détaillée:

Désignons par: a = 360 / x; b = 360 / y; c = 360 / z, les angles du triangle.
Comme: a + b + c = 180, il vient: 1/x + 1/y + 1/z = 1/2, équation à trois inconnues entières, dont aucune ne peut être inférieure ou égale à 2.
Etant donné la symétrie de l’équation, on peut supposer, sans perte de généralisation que: x <= y <= z
Remarquons tout de suite que x est obligatoirement inférieur ou égal à 6; en effet, dans le cas contraire, on aurait x > 6 et 1/2 = 1/x + 1/y + 1/z > 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2, ce qui est absurde.
Examinons les différents cas:
x = 3: on a alors 1/y + 1/z = 1/6, et: 7 < y <= 12
   si: y = 7 alors: z = 42
   si: y = 8 alors: z = 24
   si: y = 9 alors: z = 18
   si: y = 10 alors: z = 15
   si: y = 11 alors: z = 5/66 (solution à rejeter)
   si: y = 12 alors: z = 12
x = 4: on a alors 1/y + 1/z = 1/4, et: 4 < y <= 8
   si: y = 5 alors: z = 20
   si: y = 6 alors: z = 12
   si: y = 7 alors: z = 3/28 (solution à rejeter)
   si: y = 8 alors: z = 8
x = 5: on a alors 1/y + 1/z = 3/10, et: 4 < y <= 6
   si: y = 5 alors: z = 10
   si: y = 6 alors: z = 2/15 (solution à rejeter)
x = 6: on a alors 1/y + 1/z = 1/3, et: 5 < y <= 6
   si: y = 6 alors: z = 6

Résumé des solutions:
1°) x = 3; y = 7; z = 42; a = 120°; b = 51°3/7; c = 8°4/7: (le triangle "mystère")
2°) x = 3; y = 8; z = 24; a = 120°; b = 45°; c = 15°
3°) x = 3; y = 9; z = 18; a = 120°; b = 40°; c = 20°
4°) x = 3; y = 10; z = 15; a = 120°; b = 36°; c = 24°
5°) x = 3; y = 12; z = 12; a = 120°; b = 30°; c = 30°
6°) x = 4; y = 5; z = 20; a = 90°; b = 72°; c = 18°
7°) x = 4; y = 6; z = 12; a = 90°; b = 60°; c = 30°
8°) x = 4; y = 8; z = 8; a = 90°; b = 45°; c = 45°
9°) x = 5; y = 5; z = 10; a = 72°; b = 72°; c = 36°
10°) x = 6; y = 6; z = 6; a = 60°; b = 60°; c = 60°