Oui.

Il faut que la zone délimitée par l'union des cercles soit l'aire d'un demie cercle ce qui me donne comme équation x-sin(x)=pi/2 avec x étant l'angle de la lunule. On notera que l'angle d'intersection des deux cercles, à leur tangente, est le même.
x=132.34 deg

Pour les sphères, je ne sais tout simplement pas.

Première question
L'angle est solution de $\phi-\sin\phi=\frac\pi 2\, soit \approx 2.30988\, radians$
soit 132.35 degrés
ou plutôt son complément à 180° soit 0.7426 radians ou 47.65°

Seconde question
encore à l'étude

(pi - 2x)/2  - sinx cosx) = pi/4

Je trouve 23,83° après édition.  ou 156,17 dans l'autre sens.

Ca colle pas mal encore mieux avec l'intuition...

Et maintenant ?

Solution: La corde commune aux deux cercles partage l’aire de chacun en deux
segments circulaires dans la proportion 3/4 − 1/4. Si @ est l’angle (aigu) de chacune des tangentes aux extrémités de la corde avec cette corde, le petit segment sous-tend un arc 2@. En prenant le rayon des cercles comme unité de longueur, l’aire de ce segment est @ − sin@  cos@  et vaut pi/4. On a donc la relation 2@−sin(2@) = pi/2, qui fournit la valeur approchée de l’angle des tangentes 2@ = 2, 30988146 . . . radians, soit 132° environ.

Le plan du cercle intersection des deux sphères partage le volume de chacune en deux segments sphériques dans la proportion 3/4 − 1/4. Si @ est l’angle dièdre (aigu) des plans tangents le long du cercle d’intersection avec le plan de ce cercle, et en prenant le rayon des sphères comme unité de longueur, le volume du petit segment est 2pi(1−cos@)/3−cos@ (pi sin²@ )/3 et vaut pi/3.
On en tire la relation (cos^3)@  − 3 cos@  + 1 = 0, et cos@  = 2 cos(4pi/9). D’où
l’angle des plans tangents 2@ = 139° environ.