C'est parti pour la mise en équation :
[TeX](2a+1)^2 + (2a+3)^2 + (2a+5)^2 = X[/TeX]
X valant 4444, 5555 ou 6666. 4444 et 6666 sont impossibles car on additionne trois carrés d'impairs, donc trois impairs, et le résultat est impair.
[TeX](2a+1)^2 + (2a+3)^2 + (2a+5)^2 = 5555[/TeX]
[TeX](4a^2+4a+1+4a^2+12a+9+4a^2+20a+25 = 5555[/TeX]
[TeX](12a^2+36a-5520=0[/TeX]
[TeX](a^2+3a-460=0[/TeX][TeX]\Delta = 3^2+4 \times 460 = 43^2[/TeX][TeX]a = \frac{43-3}{2}=20[/TeX]
Donc les nombres que l'on cherche sont 41, 43 et 45.

41 43 45 ?

41 43 45

Bonjour

41² + 43² + 45² = 5555

(merci Excel)

Bonne journée
Nicolas

On cherche une somme de 3 carrés de nombres impairs, autrement dit un nombre impair, qui s'écrit aaaa en base 10, a étant compris entre 4 et 6. Bon ben c'est 5

On cherche N tel que (N-2)^2+N^2+(N+2)^2 = 5555
N =43
Les nombres sont donc 41, 43 et 45

Bonjour.
En fait, ce que l'on veut trouver c'est un entier n  tel que :
[TeX]n^2+(n+2)^2+(n+4)^2=4444[/latex] ou [latex]5555[/latex] ou [latex]6666
[/latex], or [latex]n^2+(n+2)^2+(n+4)^2 = 3n^2 + 12n+20[/TeX]
On résout donc cette équation :
Dans le 1er cas, on trouve un [latex]\Delta[/latex] dont le carré n'est pas un entier donc ça ne nous intéresse pas.
Dans le 2ème cas (=5555) on trouve :
[TeX]\Delta=144+4*3*(5555-20)=66564
sqrt(66564)=258[/latex], on a [latex]n1=\frac{-12+258}{6}=41[/latex] et [latex]n2=\frac{258+12}{6}=45[/TeX]
On vérifie: on a bien [latex]41^2+43^2+45^2=5555[/latex]
Dans le troisième cas on a [latex]sqrt(\Delta)=sqrt(144+4*3*6646)=282.658...[/latex] : ça ne nous intéresse pas
Donc les trois entiers impairs consécutifs cherchés sont 41, 43 et 45

soit x un nombre impair
x=2n+1 l'impair qui suit est 2n+3 et celui qui precede est 2n-1
alors (2n+1)²+(2n+3)²+(2n-1)²=12n²+12n+11 ce nombre est donc impair et donc la seule possibilite c'est qu'il soit égal à 5555 et donc 12(n²+n)=5544 et donc
n²+n=462 et d'où n²+n-462=0 DELTA=1849 et n=[latex]{-1+43} \over 2[/latex] ou n=[latex]{-1 - 43}\over 2[/latex] et donc n=21 ou n=-22
donc il y a 2 possibiltés
41;43;45 et -41;-43;-45

Soit X l'entier à trouver n'étant ni le plus grand ni le plus petit

la somme des trois entier est donc égale à

(x-2)²+x²+(x+2)²
==>
3x²+8

La somme est égale un nombre de quatre chiffres identiques compris entre 4000 et 7000
c'est soit 4444; soit 5555; soit 6666

On pose l'équation
3x²+8=4444==>x²=1478,667 => X n'est pas un entier dans ce cas là donc la somme n'est pas 4444

On pose l'équation
3x²+8=5555==>x=43 => Solution qui fonctionne

On pose l'équation
3x²+8=6666==>x²=2219,333 => X n'est pas un entier dans ce cas là donc la somme n'est pas 6666

Conclusion
Les trois entiers sont 41-43-45

soit 3 impairs entiers consécutifs n, n+2, n+4
n²+(n+2)²+(n+4)²=****
.........
pour ****=5555 cette équation a 2 solutions
n1=41, n2=-45

réponse: 41,43,45   et  -45,-43,-41

Bon alors, voilà l'équation du second degré :

> Cherchons un entier naturel n impair tel que S = n² + (n+2)² + (n+4)² vaille un nombre entre 4000 et 7000 dont les quatre chiffres soient identiques

S = 3n²+12n+20

Il y a trois nombres entre 4000 et 7000 dont les quatre chiffres soient identiques.
Ce sont 4444, 5555 et 6666
Merci pour avoir réduit le champ des recherches dans l'énoncé car je n'ai pas trouvé mieux que de poser les trois équations du 2nd degré

3n² + 12n - 4424 = 0 (Eq. 1)
3n² + 12n - 5535 = 0 (Eq. 2)
3n² + 12n - 6646 = 0 (Eq. 3)

Il n'y a que pour l'équation (Eq. 2) que le discriminant (b²-4ac) soit le carré d'un entier (258²) (voire 86² si on divise tous les coefficients par 3)

Et 3n² + 12n - 5535 = 0 n'admet qu'une seule racine qui soit un entier naturel impair, cette racine est 41 (l'autre est -45).

On retrouve alors bien n² + (n+2)² + (n+4)² = 41² + 43² + 45² = 5555

Bonne journée !

41, 43 et 45.

shadock a écrit:

... compris entre 4000 et 7000

Cette information est inutile !
Puisque l'équation va s'écrire 3x²+8=aaaa avec x impair, a est un chiffre impair tel que aaaa-8 soit divisible par 3.
Or aaaa est congru à 4a donc à a modulo 3 et 8 est congru à 2. Il est donc nécessaire que a-2 soit divisible par 3 et seul le chiffre 5 a cette propriété parmi les chiffres impairs