Marche-t-il à 10 km/h à un moment donné ?

Si sa vitesse de parcours est continue, alors oui, forcément. Si on considère qu'il change de vitesse comme ça, paf, "sans transition", alors non : il peut marcher à 20 km/h les deux premières heures et à 5 km/h les quatre heures suivantes, par exemple.

Moins difficile que la version "originale" de Scarta, mais une bonne introduction à la notion de continuité d'une fonction

Dans ce cas, puisque tu insistes... un théorème des valeurs intermédiaires suffit. La vitesse la plus faible du marcheur est A <= 10 km/h, sa vitesse la plus élevée est B >= 10 km/h, la fonction "vitesse du marcheur au cours du temps" est continue, un coup de TVI et hop !

L'explication de la Wikiversité sur le TVI

Ça s'appelle théorème des valeurs intermédiaires, mon cher Red Hand

C'est pas le théorème des accroissements finis ?

Vasimolo

Bonjour,

Souvenirs souvenirs ...

On peut appliquer le théorème des accroissements finis ("Rolle en oblique", si je me souviens bien ....) à une fonction d (de R dans R) où d(t) = distance parcourue par le marcheur cumulée à l'instant t

d est continue, (et croissante) sur l'intervalle [0, 6 heures] et dérivable  sur ]0, 6 heures[
d(0) = 0 (départ)
d(6) = 60 (arrivée 60 km)



cf Wiki :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … ents_finis

La pente moyenne est la vitesse moyenne
L'application du théorème permet de dire que la vitesse du marcheur (la vitesse du marcheur est donné par la fonction dérivée de d que l'on noterait d') a été égale à cette moyenne au moins en un instant T.

(le point "critique" c dans le schéma wiki)

Si le marcheur ne dépasse jamais 10km/h alors il marche nécessairement à vitesse constante de 10km/h. La réponse est donc oui.

Sinon le marcheur dépasse cette vitesse au moins une fois. Comme avant de marcher sa vitesse était à 0 et que la vitesse est continue, le th de la valeur intermédiaire nous garantit qu'il a forcément marché une fois a 10km/h

Oui évidemment, c'est le théorème des accroissements finis.
Si f(x) est continue sur un intervalle fermé, il existe (au moins) un c tel que f '(c) (vitesse instantannée dans ce cas-ci) = croissance moyenne (vitesse moyenne dans ce cas-ci).

Si la vitesse n'est pas une fonction continue, alors on peut trouver un "plan de marche", exemple alternance d'arrêt et de marche à 20 km/h où la vitesse instantanée n'est pas v0=10 km/h.

Si la vitesse est continue sur [0;tf] ...
Soit A : il existe t1 et t2 tels que v(t1) <= v0 <= v(t2) et le théorème des valeurs intermédiaires nous dit que il existe t3 tel que v(t3) = v0.

ou B , pour tout t € [0;tf], v(t) > v0 (resp. <=).
L'image d'un fermé borné par une fonction continue est un fermé borné, donc il existe v1, tel que pour tout t € [0;tf], v(t) >= v1 > v0, dans ce cas, la vitesse moyenne est supérieure (ou égale) à v1 donc différente de v0 : c'est impossible,

donc seul A est possible est il y a bien un instant où la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne.

bravo a tous, et merci d'avoir participé.
je suis très content qu'autant de personnes ont prit le temps de répondre a cette énigme.
quasiment tous le monde a répondu correctement.
j'avais pensé effectivement en premier lieu aux accroissement finis.
cette enigme en est une application quasi-direct en prenant en compte que la vitesse est la derivé de la fonction position.
mais comme beaucoup l'ont fait, l'utilisation du théorème des valeurs intermediaires sur la vitesse pouvait aussi suffire. il fallait (je pense, mais je suis pas expert hein !) ecarter rapidement le cas trivial ou le marcheur marche directement a 10km/h pile poil.

merci a tous,
la prochaine ne sera pas aussi facile, elle parlera de pizza (je crois avoir compris que les gateaux sont chère a vasimolo) tiré d'une situation réelle

Edit : laisse Vasimolo tranquille avec les pizzas pour le moment, il a un Mondrian sur le ventre qu'il a du mal a digérer

- Le matheux qui raisonne encore en physique :

"La vitesse est une dérivée de la position, je cherche donc pour la fonction de position f(t) une valeur de t telle que f'(t)=10, je peux utiliser le théorème des accroissements finis."

- Le matheux pur :

"Soit f(x) la vitesse, je veux au moins un x tel que f(x)=10, j'appelle le théorème des valeurs intermédiaires."

Un mélange de ces deux-là donnerait le scientifique ultime

D'où le fait que la maîtrise des maths et de la physique permette d'envoyer du bois en sciences en général, mais vu qu'on étudie plus souvent les maths ou la physique...




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