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#1 - 09-09-2010 18:09:26
- scrablor
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unz bonne note
Je mets une bonne note à quiconque me calcule cette valeur : [TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}}[/TeX] ... avec la preuve, bien sûr !
Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
#2 - 09-09-2010 18:47:13
- Alexein41
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Une bonne notte
Alors alors, [TeX]n=\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}} n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}}+\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2 n^2=(\sqrt{28+10\sqrt{3}})^2+2*\sqrt{28+10\sqrt{3}}*\sqrt{28-10\sqrt{3}} + (\sqrt{28-10\sqrt{3}})^2 n^2=28+10\sqrt{3}+2*\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+28-10\sqrt{3} n^2=56+2*\sqrt{28^2-(10\sqrt{3})^2} n^2=56+2*\sqrt{784-300} n^2=56+44 n^2=100 n=10[/TeX] On ne prend pas [latex]n=-10[/latex], car [latex]n[/latex] est la somme de deux racines carrés de l'ensemble des réels, [latex]n[/latex] est donc positif.
Enigme... enfin... exercice très sympa ! ![wink](img/smilies/wink.png)
#3 - 09-09-2010 18:54:18
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
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Unne bonne note
On peut montrer facilement que [latex]28 - 10 \sqrt{3}[/latex] est positif, grâce au fait que [latex]\sqrt{3} < \sqrt{4} = 2[/latex] par exemple, et donc montrer que [latex]n[/latex] existe. [TeX]n[/latex] est forcément positif, en tant que somme de racines carrées. Calculons [latex]n^2[/latex] :
[latex]\begin{align} n^2 &= \left( \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} + \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \right) ^2 \\ &= (28 + 10 \sqrt{3}) + (28 - 10 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{28 + 10 \sqrt{3}} \sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \\ &= 56 + 2 \sqrt{\left(28 + 10 \sqrt{3}\right) \left(28 - 10 \sqrt{3}\right)} \\ &= 56 + 2 \sqrt{ 28^2 - \left(10 \sqrt{3} \right)^2} \\ &= 56 + 2 \sqrt{484} \\ &= 56 + 44 \\ &= 100 \\ n^2 &= 10^2 \end{align}[/TeX] Donc [latex]n=10[/latex].
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#4 - 09-09-2010 20:12:47
- cogito
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une bonne notz
On a [latex](\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b})^2=a+b+a-b+2\sqrt{(a+b)(a-b)}=2(a+\sqrt{a^2-b^2})[/latex].
Ici a= 28, donc a²=784 et b²= 300 et donc a²-b² = 484=4*121=22² et encore donc [TeX]n^2=2(28+\sqrt 22^2)=100[/TeX] et comme n est la somme de deux racines carrés alors n est positif et donc n= -10 est exclu donc n=10. Bref la rrroutine habituel quoi ![smile](img/smilies/smile.png)
Il y a sûrement plus simple.
#5 - 09-09-2010 22:34:26
- franck9525
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une bonbe note
l'astuce est de retrouver les carrés cachés sous les racines : [TeX]28=25+3=5^2+sqrt3^2[/TeX] ce qui donne [TeX]28 +/- 10\sqrt3 = (5^2+/- 2*5\sqrt3 + sqrt3^2)=(5+/-sqrt3)^2[/TeX] et donc [latex]n=5+sqrt3+5-sqrt3=10[/latex] ![cool](img/smilies/cool.png)
The proof of the pudding is in the eating.
#6 - 09-09-2010 22:59:15
- kosmogol
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Une bonne noe
... avec la preuve, bien sûr !
Ah, là c'est tout de suite plus dur ![lol](img/smilies/lol.png)
http://enigmusique.blogspot.com/
#7 - 09-09-2010 23:21:27
- gelule
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Une bonne ote
alors tu peux donner 10 à ma calculette ![tongue](img/smilies/tongue.png)
#8 - 09-09-2010 23:26:37
- rivas
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Ue bonne note
J'ai toujours aimé ça ![smile](img/smilies/smile.png) En plus ça m'a rememoré un truc très proche mais "bizarre", voir plus bas. Mais puisqu'il faut en passer par là: [TeX]n^2=28+10\sqrt{3}+28-10\sqrt{3}+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/latex] (on applique [latex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab[/latex])
[latex]n^2=56+2\sqrt{28^2-3.100}[/latex] (sous la racine on applique [latex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/latex])
et donc [latex]n^2=100[/latex] et [latex]n=10[/latex].
Bon maintenant que j'ai fait mes devoirs à la maison, voici la version que je connaissais (pas pour les enfants ):
[latex]\sqrt{3+4\sqrt{-1}}+\sqrt{3-4\sqrt{-1}}=4[/TeX] que l'on montre de la même façon que ci-dessus en utilisant uniquement les règles algébriques habituelles malgré le manque de "sens" dans cette écriture.
Amusant.
#9 - 10-09-2010 00:17:46
- FRiZMOUT
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Un ebonne note
[TeX](\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}})^{2} = (28+10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}+(28-10\sqrt{3}) = 56 + 2\sqrt{784-300} = 56 + 2\sqrt{484}=56+2\time22 = 56+44 = 100[/TeX] Comme une somme de racines carrées est forcément positive, blablabla : [TeX]\sqrt{28+10\sqrt{3}} + \sqrt{28-10\sqrt{3}} = sqrt{100} = 10[/TeX]
#10 - 10-09-2010 04:31:48
- Lagaway
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Unne bonne note
Bonjour,
on élève l'expression (qui est positive) au carré, on simplifie en utilisant les identités remarquables pour finalement obtenir l'expression suivante :
n² = 56 + 2V484 = 56 + 2V22² = 56 + 44 = 100
On en déduit n = 10
#11 - 10-09-2010 06:04:07
- emmaenne
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une bonne notz
((28 + (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) + ((28 - (10 * (3^(1 / 2))))^(1 / 2)) = 10 me dit google, ce n'est peut être pas la preuve que tu attends ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)
#12 - 10-09-2010 08:38:03
- dylasse
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Une bonn enote
10, parce que j'ai essayé 20 et ça ne marchait pas !!!!
pour la justification... on va élever tout ça au carré, et utiliser toutes les inégalités remarquables connues et tomber sur 100.
#13 - 10-09-2010 10:05:21
- gdezz
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unz bonne note
En passant par n au carré, on obtient 100 : n = 10 ou -10 mais comme n = somme de 2 racine carrés, n est > 0. ( quoique je ne suis pas sûr que 28-10sqrt(3) soit positif... )
Donc n = 10.
#14 - 10-09-2010 12:43:14
- dhrm77
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Une bbonne note
si on eleve l'expression n=√(28+10×√3)+√(28−10×√3) au carré, on obtient: n^2 = 28+10×√3+28−10×√3+2√(28^2-300) que l'on simplifie: n^2 = 28+28+2×√(484) = 56+44=100 si n^2 = 100, n = 10 ou n = -10 puis on verifie que l'expression donne 10, et non pas -10
Tres joli.
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#15 - 10-09-2010 13:32:48
- Papy04
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Un bonne note
Je pense que pour un vrai matheux ce n'est pas très rigoureux mais je passe par le carré de n pour recalculer n. J'ai un petit problème avec l'écriture des équations alors je triche un peu:
J'appelle a et b les deux termes qui constituent n n au carré = a au carré + b au carré + 2ab a au carré + b au carré donne 56 2ab = 2 fois (racine de 28 au carré -(10 racine de 3) au carré) soit 2*(784 - 300), soit encore 44 On a donc n au carré = 56 + 44 = 100 Et n = 10
Les gens n'acceptent jamais leurs défauts. Moi je le ferais si j'en avais!
#16 - 10-09-2010 17:52:26
- san1016
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une bonne npte
N=2\sqrt{23} n2=(a+b)2 avec a=\sqrt{28+10\sqrt{3}} et b=\sqrt{28-10\sqrt{3}} donc n2=a2+2ab+b2 et a2=28+10\sqrt{3} b2=28-10\sqrt{3} soit a2+b2=56 2ab=2\sqrt{28+10\sqrt{3}}\sqrt{28-10\sqrt{3}} 2ab=2\sqrt{(28+10\sqrt{3})*{28-10\sqrt{3}}} 2ab=2\sqrt{784-300} 2ab=44 D’où n2=56+44 n2=100 Soit n=10
#17 - 10-09-2010 19:37:23
- Vasimolo
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Une obnne note
[TeX]n[/latex] est positif et en élevant au carré :
[latex]n^2=(28+10\sqrt{3})+(28-10\sqrt{3})+2\sqrt{(28+10\sqrt{3})(28-10\sqrt{3})}[/TeX][TeX]n^2=56+2\sqrt{784-300}=56+2\sqrt{484}=56+44=100[/TeX] Donc [latex]n=10[/latex] , plutôt médiocre si c'est noté sur 20 ![lol](img/smilies/lol.png)
Vasimolo
#18 - 10-09-2010 21:13:49
- HAMEL
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une bonne nite
Il suffit d'élever au carré et de faire le calcul. n=10
-C'est curieux chez les marins ce besoin de faire des phrases !
#19 - 11-09-2010 10:20:18
- Promath-
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Une bonen note
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#20 - 11-09-2010 10:20:30
- Promath-
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Une obnne note
Un promath- actif dans un forum actif
#21 - 11-09-2010 10:20:37
- Promath-
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une vonne note
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#22 - 11-09-2010 22:39:37
- rom1504
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Ue bonne note
n=sqrt(28+10sqrt(3))+sqrt(28-10sqrt(3)) donc n²=2sqrt((28+10sqrt(3))(28-10sqrt(3)))+2*28 n²=2sqrt(28²-300)+56 n²=2sqrt(484)+56 n²=44+56 n²=100 n=10 ( ou -10 mais exclu car sqrt est positive )
#23 - 11-09-2010 22:48:54
- scarta
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une vonne note
[TeX] (sqrt{28 + 10 sqrt{3}} + sqrt{28 - 10 sqrt{3}})^2 = \\ 28 + 10.sqrt(3) + 28 - 10.sqrt(3) + 2 sqrt{(28 + 10 sqrt{3}).(28 - 10 sqrt{3})} = \\ 56 + 2 sqrt{28^2 - 3.10^2} = \\ 100 [/TeX] Comme la somme de 2 racines est nécessairement positive, la réponse est 10 et pas -10.
#24 - 12-09-2010 17:09:53
- Nombrilist
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une bonne notr
On élève au carré (a+b)², suivi d'une simplification (a+b)(a-b) sous la racine formée par 2ab. Et voili voilou. Merci d'avoir posté un problème à la portée du commun des mortels ![smile](img/smilies/smile.png)
La réponse est 10.
#25 - 12-09-2010 18:09:46
- Diego
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Une bonne not
Tu fais N2 (au carré) et tu développe Si le premier terme =A et le 2ème=B tu as n2= A2 +B2 + 2AB = 56 + 44 = 100 d'ou n = 10
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