il y en a 37 inférieurs à 10000 et 254 inférieur à 1000000

[1000000; 990025; 986049; 974169; 970225; 968256; 956484; 944784; 938961;
937024; 927369; 915849; 902500; 900601; 898704; 887364; 883600; 876096;
870489; 859329; 853776; 850084; 819025; 817216; 810000; 802816; 801025;
799236; 793881; 788544; 777924; 767376; 755161; 753424; 751689; 746496;
739600; 724201; 722500; 707281; 695556; 692224; 685584; 675684; 665856;
664225; 660969; 648025; 635209; 633616; 620944; 617796; 606841; 605284;
599076; 592900; 591361; 589824; 579121; 577600; 565504; 564001; 552049;
550564; 525625; 524176; 512656; 511225; 509796; 487204; 474721; 473344;
471969; 467856; 462400; 461041; 459684; 450241; 448900; 439569; 438244;
436921; 426409; 425104; 414736; 413449; 403225; 401956; 390625; 389376;
360000; 358801; 357604; 348100; 346921; 337561; 336400; 327184; 326041;
315844; 306916; 305809; 301401; 297025; 294849; 288369; 286225; 278784;
268324; 260100; 259081; 258064; 251001; 249001; 241081; 232324; 231361;
230400; 223729; 222784; 215296; 214369; 207025; 206116; 202500; 199809;
198025; 190096; 183184; 182329; 178929; 175561; 174724; 173889; 168100;
167281; 160801; 153664; 152881; 152100; 149769; 145924; 139129; 133225;
132496; 126736; 126025; 123201; 121104; 120409; 119716; 114244; 113569;
108241; 107584; 103041; 101761; 101124; 96721; 96100; 91204; 90601; 90000;
85264; 80656; 80089; 75625; 75076; 70756; 70225; 69696; 66049; 65536; 62001;
61504; 61009; 57121; 56644; 52900; 52441; 48841; 48400; 44944; 44521; 44100;
41209; 40804; 40401; 40000; 37636; 37249; 34225; 33856; 32400; 30976; 30625;
27556; 24964; 24649; 22500; 21904; 19600; 19321; 17161; 16900; 14884; 14641;
14400; 12769; 12544; 12321; 12100; 11025; 10816; 10609; 10404; 10201; 10000;
9025; 8836; 8100; 7396; 7225; 5929; 5776; 4624; 4489; 3600; 3481; 3364;
2601; 2304; 2025; 1681; 1521; 961; 900; 529; 484; 441; 400; 324; 225; 196;
169; 144; 121; 100; 81; 36; 9; 4; 1; 0]

les voila tous entre 0 et 1000000

le plus grand est 990025 pourquoi ? Car tous les nombre de 6 chiffres au dessus ne sont pas des ultracarre (Mon ordi le dit)

999761161 est le plus grand ultracarre à 9 chiffres

1) 1, 4 et 9 sont évidemment des ultracarrés. On a ensuite : 36, 81, 100, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, 1521, 1681, 2025, 2304, 2601, 3364, 3600, 4489, 4624, 5776, 5929, 7225, 7396, 8100, 8836, 9025 et 10000. Ca nous en fait 34.

2) Le plus petit carré de 7 chiffres est [latex]1000000=1000^2[/latex]. Je cherche donc sur ceux juste en-dessous et trouve [latex]995^2 = 990025[/latex].

3) Idem : juste en-dessous de [latex]100000^2[/latex], je trouve [latex]99997^2 = 9999400009[/latex].

Je prends la 1ère catégorie.
Il en existe au moins un, 36.

Entre 1 et 10000, 36 en tout.
En voila une liste un peu plus longue.
Et plus on s'approche de l'infini, plus il y en a:

0 = 0^2; somme chiffres=0 = 0^2
1 = 1^2; somme chiffres=1 = 1^2
4 = 2^2; somme chiffres=4 = 2^2
9 = 3^2; somme chiffres=9 = 3^2
36 = 6^2; somme chiffres=9 = 3^2
81 = 9^2; somme chiffres=9 = 3^2
100 = 10^2; somme chiffres=1 = 1^2
121 = 11^2; somme chiffres=4 = 2^2
144 = 12^2; somme chiffres=9 = 3^2
169 = 13^2; somme chiffres=16 = 4^2
196 = 14^2; somme chiffres=16 = 4^2
225 = 15^2; somme chiffres=9 = 3^2
324 = 18^2; somme chiffres=9 = 3^2
400 = 20^2; somme chiffres=4 = 2^2
441 = 21^2; somme chiffres=9 = 3^2
484 = 22^2; somme chiffres=16 = 4^2
529 = 23^2; somme chiffres=16 = 4^2
900 = 30^2; somme chiffres=9 = 3^2
961 = 31^2; somme chiffres=16 = 4^2
1521 = 39^2; somme chiffres=9 = 3^2
1681 = 41^2; somme chiffres=16 = 4^2
2025 = 45^2; somme chiffres=9 = 3^2
2304 = 48^2; somme chiffres=9 = 3^2
2601 = 51^2; somme chiffres=9 = 3^2
3364 = 58^2; somme chiffres=16 = 4^2
3481 = 59^2; somme chiffres=16 = 4^2
3600 = 60^2; somme chiffres=9 = 3^2
4489 = 67^2; somme chiffres=25 = 5^2
4624 = 68^2; somme chiffres=16 = 4^2
5776 = 76^2; somme chiffres=25 = 5^2
5929 = 77^2; somme chiffres=25 = 5^2
7225 = 85^2; somme chiffres=16 = 4^2
7396 = 86^2; somme chiffres=25 = 5^2
8100 = 90^2; somme chiffres=9 = 3^2
8836 = 94^2; somme chiffres=25 = 5^2
9025 = 95^2; somme chiffres=16 = 4^2
10000 = 100^2; somme chiffres=1 = 1^2
10201 = 101^2; somme chiffres=4 = 2^2
10404 = 102^2; somme chiffres=9 = 3^2
10609 = 103^2; somme chiffres=16 = 4^2
10816 = 104^2; somme chiffres=16 = 4^2
11025 = 105^2; somme chiffres=9 = 3^2
12100 = 110^2; somme chiffres=4 = 2^2
12321 = 111^2; somme chiffres=9 = 3^2
12544 = 112^2; somme chiffres=16 = 4^2
12769 = 113^2; somme chiffres=25 = 5^2
14400 = 120^2; somme chiffres=9 = 3^2
14641 = 121^2; somme chiffres=16 = 4^2
14884 = 122^2; somme chiffres=25 = 5^2
16900 = 130^2; somme chiffres=16 = 4^2
17161 = 131^2; somme chiffres=16 = 4^2
19321 = 139^2; somme chiffres=16 = 4^2
19600 = 140^2; somme chiffres=16 = 4^2
21904 = 148^2; somme chiffres=16 = 4^2
22500 = 150^2; somme chiffres=9 = 3^2
24649 = 157^2; somme chiffres=25 = 5^2
24964 = 158^2; somme chiffres=25 = 5^2
27556 = 166^2; somme chiffres=25 = 5^2
30625 = 175^2; somme chiffres=16 = 4^2
30976 = 176^2; somme chiffres=25 = 5^2
32400 = 180^2; somme chiffres=9 = 3^2
33856 = 184^2; somme chiffres=25 = 5^2
34225 = 185^2; somme chiffres=16 = 4^2
37249 = 193^2; somme chiffres=25 = 5^2
37636 = 194^2; somme chiffres=25 = 5^2
40000 = 200^2; somme chiffres=4 = 2^2

Cette série existe déjà sur OEIS : A053057

2-Quel est le plus grand nombre ultacarré de 6 chiffres?Expliquer pourquoi.
      990025 = 995^2; somme des chiffres=25 = 5^2
     et bien il suffit de partir de 999^2 et de decompter jusqu'a ce qu'on tombe sur une somme de chiffres qui est un carré...

3-Quel est le plus grand nombre ultracarré de 10 chiffres?Expliquer pourquoi.
    meme technique:
    99997^2 = 9999400009 somme des chiffres = 49 = 7^2

1. Je trouve 36 ultracarrés allant de 1 a 10000 (inclus) : 1,4,9,36, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 324, 400, 441, 484, 529, 900, 961, 1521, 1681, 2015, 2304, 2601, 3364, 3481, 3600, 4489, 4624, 5776, 5929, 7225, 7396, 8100, 8836, 9025 et 10000

2. Le plus grand ultracarré de 6 chiffres est : 990025. Pour info, je trouve 252 ultracarrés de 6 chiffres et moins, mais je ne les citerai pas ici

3. Le plus grand ultracarré de 10 chiffres : 9999000025

Pourquoi? Je ne sais pas encore, je saurai dans quelques heures quand les réponses ne seront plus cachées , je suis sur qu'il existe une méthode plus rapide que la mienne (le calcul bête et méchant), surtout en voyant les réponses 2 et 3!!