Si C est le chiffre en question, je trouve que 2010+C 2010-C est un multiple de 11. La seule solution est C=3 C=8.

Vu que $10^n \equiv (-1)^n [11]$, on peut remarquer que notre gros nombre, 2010 et notre nombre mystère sont tous congrus modulo 11.
Comme 2010 est congru à 8 modulo 11, et que seul ce nombre est compris entre 0 et 10, c'est donc notre chiffre mystère.

Soit le nombre recherché composé de cent chiffres de la forme : D1 U1 D2 U2 ... D49 U49 D50 U50
Avec :
- D1 entier naturel compris entre 1 et 9
- Dn (pour n de 2 à 50) entier naturel compris entre 0 et 9
- Un (pour n de 1 à 50) entier naturel compris entre 0 et 9.

Nous avons cent variables :
D1 ; D2 ; ... ; D49 ; D50
U1 ; U2 ; ... ; U49 ; U50


De l'énoncé, on déduit :

10.(D1+D2+...+D49+D50) + (U1+U2+...+U49+U50)  =  2010
(U1+U2+...+U49+U50) - (D1+D2+...+D49+D50)  =  x
avec x entier naturel compris entre 1 et 9


On pose :
D  =  D1+D2+...+D49+D50
U  =  D1+D2+...+D49+D50


Alors :
10.D + U  =  2010
U - D  =  x

U  =  2010 - 10.D

2010 - 10.D - D  =  x
2010 - 11.D  =  x
D étant la somme d'entiers naturels, D est un entier naturel.
x étant un entier naturel compris entre 1 et 9, on en déduit :
2001  <=  11.D  <=  2009

On a donc une seule solution :
D = 182    (et  11.D  =  2002)
x  =  8


Pour aller un peu plus loin :

U - D  =  8
U  =  190

Ainsi :
- la somme de U1 à U50 est égale à 190
- la somme de D1 à D50 est égale à 182

Grâce au découpage par tranches de deux, on sait que la somme des chiffres de position impaire plus 10 fois la somme des chiffres de position paire donne 2010.
i+10p = 2010
Grâce au deuxième découpage, on sait que la somme des chiffres de position impaire moins la somme des chiffres de position paire donne un chiffre entre 0 et 9
0 <= i - p <= 9

Donc on a   0 <= 2010 - 11p <= 9
=> p = 182 et i = 190.

La solution est l'ensemble des nombres de 100 chiffres dont la somme des chiffres de position impaire est 190 et la somme des chiffres de position paire est 182

"c'est pas faux !"

Euh... Ca a beau être le programme de spé math de terminale S (à peu de choses près), je vais dire pareil que Kosmo sur ce coup-là

La méthode du tricheur: si on pose la question, c'est qu'il y a une réponse
On va donc écrire un nombre à 100 chiffres qui commence par 9 écrit 40 fois, suivi de 22 puis 01 écrit 8 fois, et pour finir que des 0.
La somme des paires fait 99*20 + 22 + 8 = 2010, la somme/soustraction des chiffres fait 1+1+1+1+1+1+1+1=8 (les autres sont soit nuls, soit annulés par le chiffre suivant)
Vu qu'il y a une réponse qui vaut 8, la réponse est 8

Je pensais que ma "pique" sur les physiciens ouvrirait un débat plus passioné

...et sans un physicien après lui, le matheux ne saura jamais à quoi servent ses outils

Pour moi, la science est d'abord une tentative de compréhension du monde, au même titre que la philosophie (qui a juste choisi de s'attaquer à la question sous un autre angle). Partant de là, des mathématiques qui se contentent de s'appliquer à elle-même me semblent gâchées. Mais ce n'est sans doute qu'un point de vue personnel...

Quant à l'approche du physicien ("ça a l'air de marcher mieux, alors on garde"), elle est gâtée par plusieurs choses :
- le fait qu'une vérification d'une propriété, même jusqu'au rang 1000, n'est pas une démonstration par récurrence (il se peut que ça déconne totalement à partir du premier terme que l'on n'a pas vérifié) ;
- le fait que, sur des problèmes spécifiques, le physicien est incapable de trouver une méthode plus efficace sans en appeler aux mathématiques (je pourrais te citer des exemples, dont un sur lequel je travaille actuellement ) ;
- le fait qu'une méthode qui marche mieux dans un cas particulier peut être inutile dans d'autres cas, même "voisins".

Et j'en oublie peut-être.

Matheux et physiciens
Marchons main dans la main
Pour de meilleurs lendemains

Je suis globalement d'accord avec toi Mathias.
Il y a un point cependant: il n'est pas nécessaire que ce soit la même personne qui fasse des avancées en Maths et qui l'exploite en physique. C'est d'ailleurs rarement le cas.

Le mathématicien "fondamental" va donc tendre à s'isoler, pas volontairement souvent, pour abstraire l'univers, seul moyen d'arriver à en appréhender la trame cachée (il n'y a cas penser aux EV de dimensions > 3 par exemple). Ensuite les physiciens vont piocher dans les outils mathématiques.

Le plus fructueux étant encore un collaboration entre eux plutôt que 2 approches isolées.

Enfin, c'est aussi mon humble avis

Nuance: les mathématiques ne pourrait prouver leur consistance que si elles étaient inconsistantes. Plus fort, les mathématiques prouvent que si elles se prouvaient elles-même, alors elles seraient inconsistantes.

Ce qui revient à dire la chose suivante:
Si les mathématiques sont consistantes et qu'elles peuvent le prouver, alors elles sont inconsistantes, puisque les mathématiques le prouve (faut suivre), mais comme elles sont inconsistantes, la preuve peut être fausse (Aaaaarrrgh)

Mais d'un autre côté, quelle foi peut-on accorder à une démonstration basée sur un système inconsistant