Enigme Période, oh ma période, ... @ Prise2Tete

rivas · #1

Pour le week-end encore, à peine plus difficile.

Quel est le plus petit nombre entier (positif) dont l'écriture décimale de l'inverse est périodique et pour lequel la longueur de la période est 7?

Exemple: 7 est la solution à cette question pour une période de longeur 6: [latex]\dfrac17=0,\bar{142857}[/latex]

Amusez-vous bien.

FRiZMOUT · #2

239.

MthS-MlndN · #3

Un nombre dont le développement décimal est de période 7 peut être écrit sous la forme [latex]\frac{abcdefg}{9999999}[/latex], donc son inverse peut être écrit sous la forme [latex]\frac{9999999}{abcdefg}[/latex], et ce nombre doit être le plus petit entier possible...
[TeX]9999999 = 3^2 \times 239 \times 4649[/TeX]
Plus qu'à tester les multiples (strictement supérieurs à 1) dans l'ordre... [latex]1/3[/latex] a un développement décimal de période 1, [latex]1/9[/latex] donne une période de 1 aussi. [latex]1/239[/latex] me donne le bingo que j'attendais :
[TeX]\frac{1}{239} = 0,\bar{0041841}[/TeX]
La réponse est donc 239.

luthin · #4

Appelons [latex]n[/latex] ce nombre et [latex]d_i[/latex] le ième chiffre de son écriture décimale. On a donc:
[TeX]
\begin{equation}
1/n =0,\underline{d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7}
\Leftrightarrow 10^7(1/n)-D=1/n, \quad \text{avec }D=d_1d_2d_3d_4d_5d_6d_7
\Leftrightarrow n=\frac{9999999}D
\end{equation}
[/TeX]
[TeX]n[/latex] est donc un diviseur de 9999999, et par hypothèse, le plus petit.
La décomposition en facteurs premiers de 9999999 donne:
[latex]9999999=3^2.239.4649[/TeX]
1/3 et 1/9 donnant des écritures décimales de période 1, la seule solution est n=239.

franck9525 · #5

période 1: 1/3 = 0.3333333333
période 2: 1/22 = 0.04545454545
période 3: 1/27 = 0.037037037037
période 4: 1/101 = 0.0099009900990099
période 5: 1/41 = 0.0243902439
période 6: 1/7 = 0.142857142857
période 7: 1/239=0.004184100418410041841
periode 8: 1/73 = 0.013698630136986
periode 9: 1/81 = 0.012345679012345...

La réponse pour 7 est 239

edit
[TeX]\rm~periode~7:~\frac{1}{239}=0.[/latex][latex]4$\red0041841[/latex][latex]6$\blue0041841[/latex][latex]5$\green0041841[/TeX]

scrablor · #6

J'ai cherché un diviseur de 9999999.
Bien sûr, 3 et 9 sont refusés : période 1.
Le suivant est le bon : 239. Effectivement [latex]\dfrac1{239}=0,\underline{0041841}[/latex]

L'encyclopédie des suites a écrit:
3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001...

looozer · #7

Soit n l'inverse du nombre cherché.

n = 0,abcdefgabcdefgabcdefg...
10 000 000n = abcdefg,abcdefgabcdefg...

En soustrayant membre à membre :

9 999 999n = abcdefg
donc n = abcdefg / 9 999 999

Comme 9 999 999 = 3² x 239 x 4649, ça doit être n = 1 / 239 = 0,00418410041841...

Je réponds 239

rivas · #8

Très bonne réponse de FRiZMOUT, Mathias, luthin, Franck, scrablor et loozer, enfin tout le monde quoi avec plus ou moins de détails et de "qualité de rédaction". Merci à Mathias qui m'a appris comment "surligner" en LaTeX pour noter une période (\bar) (ou une adhérence ). Je n'avais pas trouvé mieux que de souligner.

MthS-MlndN · #9

Je tiens moi-même l'information de ce glossaire de formules TeX : il est très complet, je l'ai Ctrl-D il y a bien longtemps

Yannek · #10

La réponse est 239.
Si x est un entier strictement positif tel que 1/x a une période de longueur 7, alors
[TeX]\fbox{10^7\times\frac 1x-\frac 1x\in{\mathbb N}\Leftrightarrow \frac{999999}x\in{\mathbb N}[/TeX]
Or la décomposition en facteurs premiers de 999999 est
[TeX]999999=3^2\times 239\times 4649[/TeX]
Les diviseurs de 999999 sont donc, dans l'ordre croissant :

1,3,9,239,717,2151,4649,13947,41841,111111,333333,999999.

La période des inverses de 1,3,9 est 1.
Celle de l'inverse de 239 est 7 : [latex]1/239=0,\underline{0041841}[/latex]

Par conséquent, le plus petit entier positif dont l'inverse a une période à 7 chiffres est 239.

scarta · #11

Je trouve 239, avec un petit programme.
Le meilleur moyen de connaître une période par programmation est de "poser la division" comme à la main: à chaque étape, on note le quotient et le reste. Si on obtient un reste nul, l'écriture décimale n'est pas périodique (elle est finie) et si on obtient une paire (quotient, reste) déjà obtenue N étapes auparavant, la période est de N.

dhrm77 · #12

le plus petit nombre est 239 ( =34*7+1 )

Les suivants sont:
717 ( = 3*239 )
2151 ( = 9*239 )
4649 ( = 664*7+1 )
13947 ( = 3*4649 )
41841 ( = 9*4649 )
...

scarta · #13

Autre méthode, plus directe.
On considère le nombre N = 0.abcdefgabcdefgabcdefg
a, b, c, d, e, f et g sont des chiffres, et pas tous égaux (sinon la période serait 1)
On remarque alors que 10^7 N = abcdefg.abcdefgabcdefg
Donc 9999999 N = abcdefg
Quels sont les diviseurs de 9999999 ?
1, 3, 9, 239, 717, 2151, 4649, 13947, 41841, 1111111, 3333333, 9999999
Parmi ces diviseurs, quel est le plus grand de la forme "abcdefg" telle que définie plus haut? 41841
Donc N = 9999999/41841 = 239

scarta · #14

Question subsidiaire.
Soit f la fonction définie sur N, telle que f(n)=plus petit élément p tel que l'écriture décimale de 1/p soit périodique avec une période de n chiffres.
Est-ce que p renvoie toujours un nombre premier ?

rivas · #15

Félicitations à tous.
La encore que des bonnes réponses et de belles démonstrations. Pas grand chose à rajouter. La aussi j'espère que vous avez aimé la récréation.

A propos de la question subsidiaire (merci scarta ), elle est beaucoup plus dure que l'exercice lui-même. A priori je dirais oui. La période associée à l'inverse d'un nombre composé me semble devoir être plus grande que celle associée à chaque facteur.

Il me semble instinctivement que cela à un rapport avec le théorème chinois.

Bon, je réfléchis "en direct". La longueur de la période est le nombre de restes différents obtenus en effectuant la division (en baissant chaque 0). C'est donc aussi le nombre de restes différentes de la division des puissances de 10 par le nombre p. C'est donc l'ordre de 10 dans Z/pZ. Si p n'est pas premier, l'ordre de 10 doit être le ppcm des ordres de 10 dans chacun des Z/qZ pour q facteur premier de p (je le pense mais je ne le prouve pas ), ce qui montre que cela sera toujours plus petit pour un nombre premier.

Si quelqu'un à une formalisation, je suis preneur.

Yannek · #16

Pour la question scarta, il me semble que la réponse est non :
Le plus petit nombre entier positif dont l'inverse est de période 3 est 27
(même raisonnement, 999=3^3*37, les facteurs de 999 sont 1,3,9,27,37,111,333,999 et [latex]\frac1 {27}=0.\underline{037}[/latex])

Cela dit, la propriété énoncée par Rivas est correcte (mais ne permet pas de conclure : les inverses de puissances de petits premiers peuvent avoir des périodes plus grandes que l'inverse de premiers plus grands) :

si n est la période de 1/p, alors n est le plus petit entier tel que p divise [latex]10^n-1[/latex].
En supposant que et k>1 et m<n soient tels que pk divise [latex]10^m-1[/latex] on aurait p divise [latex]10^m-1[/latex], d'où une contradiction.

rivas · #17

Salut Yannek,

Mon raisonnement n'est pas tout à fait clair dans ma tête :-) mais il me semble quand même que le plus petit nombre ne peut pas être composé d'une autre façon qu'un nombre premier ou une puissance de nombre premier (cas que j'ai négligé).

Je vais essayer d'y réfléchir plus... (mais c'est dur )

Yannek · #18

Ce n'est pas clair pour moi non plus, mais composer un nombre a tendance a faire augmenter la période de l'inverse.
Un dernier exemple plus petit entier dont la période de l'inverse a 12 chiffres : 3737=101*37

(999999999999=3^3*7*11*13*37*101*9901)

scarta · #19

En effet, alors je pose la question différemment
Si n n'est pas un multiple de 3, alors f(n) est premier

scarta · #20

Même avec cet énoncé modifié, cette conjecture reste fausse...
Les premiers contre-exemples sont :
289 (=17*17), premier nombre dont l'inverse est de période 272
391 (=17*23), premier nombre dont l'inverse est de période 176
451 (=11*41), premier nombre dont l'inverse est de période 10

Bref, c'est pas aujourd'hui que je donnerai mon nom à un théorème

dhrm77 · #21

scrablor a écrit:
L'encyclopédie des suites a écrit:
3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 999999000001...

La suite a citer serais plutot:
A003060
soit:
1, 3, 11, 27, 101, 41, 7, 239, 73, 81, 451, 21649, 707, 53, 2629, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 511, 21401, 583, 243, 29, 3191, 211, 2791, 353, 67, 103, 71, 1919, 2028119, 909090909090909091

et puis en ce qui concerne les periodes de 7 chiffres en voila plus:
1/239 = 0.[0041841]...
1/478 = 0.0[0209205]...
1/717 = 0.[0013947]...
1/956 = 0.00[1046025]...
1/1195 = 0.0[0083682]...
1/1434 = 0.0[0069735]...
1/1912 = 0.000[5230125]...
1/2151 = 0.[0004649]...
1/2390 = 0.0[0041841]...
1/2868 = 0.00[0348675]...
1/3585 = 0.0[0027894]...
1/3824 = 0.0002[6150627]...
1/4302 = 0.0[0023245]...
1/4649 = 0.[0002151]...
1/4780 = 0.00[0209205]...
1/5736 = 0.000[1743375]...
1/5975 = 0.00[0167364]...
1/7170 = 0.0[0013947]...
1/7648 = 0.00013[0753138]...
1/8604 = 0.00[0116225]...
1/9298 = 0.0[0010755]...
1/9560 = 0.000[1046025]...
1/10755 = 0.0[0009298]...
1/11472 = 0.0000[8716875]...
1/11950 = 0.00[0083682]...
1/13947 = 0.[0000717]...
1/14340 = 0.00[0069735]...
1/15296 = 0.000065[3765690]...
1/17208 = 0.000[0581125]...
1/17925 = 0.00[0055788]...
1/18596 = 0.00[0053775]...
1/19120 = 0.0000[5230125]...
1/21510 = 0.0[0004649]...
1/22944 = 0.00004[3584379]...
1/23245 = 0.0[0004302]...
1/23900 = 0.00[0041841]...
1/27894 = 0.0[0003585]...
1/28680 = 0.000[0348675]...
1/29875 = 0.000[0334728]...
1/30592 = 0.0000326[8828451]...
1/34416 = 0.0000[2905625]...
1/35850 = 0.00[0027894]...
1/37192 = 0.000[0268875]...
1/38240 = 0.00002[6150627]...

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#1 - 15-10-2010 18:50:03

Période, oh ma péériode, ...

#0 Pub

#2 - 15-10-2010 19:40:59

périofe, oh ma période, ...

#3 - 15-10-2010 20:50:10

Période, oh ma périod, ...

#4 - 15-10-2010 22:02:35

Période, oh ma pérriode, ...

#5 - 15-10-2010 23:59:41

ériode, oh ma période, ...

#6 - 16-10-2010 09:08:05

périodr, oh ma période, ...

L'encyclopédie des suites a écrit:

#7 - 16-10-2010 19:02:58

Période, oh ma périod,e ...

#8 - 16-10-2010 21:43:01

période, oh ma périofe, ...

#9 - 16-10-2010 22:04:41

Période, oh ma période, ..

#10 - 17-10-2010 15:11:18

Période, oh maa période, ...

#11 - 18-10-2010 10:41:13

Période oh ma période, ...

#12 - 18-10-2010 12:57:22

Période, oh ma priode, ...

#13 - 18-10-2010 13:52:44

périodr, oh ma période, ...

#14 - 18-10-2010 16:43:36

Péride, oh ma période, ...

#15 - 18-10-2010 18:57:06

Période, oh m période, ...

#16 - 18-10-2010 19:20:17

Période, ho ma période, ...

#17 - 18-10-2010 19:37:36

Période, oh ma péériode, ...

#18 - 18-10-2010 20:24:12

Période, oh ma pérode, ...

#19 - 18-10-2010 20:39:56

Périod, oh ma période, ...

#20 - 18-10-2010 23:42:12

éPriode, oh ma période, ...

#21 - 19-10-2010 02:05:44

Période,, oh ma période, ...

scrablor a écrit:

L'encyclopédie des suites a écrit:

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