Salut JackV,

Je ne sais pas si j'ai bien compris l'énoncé. le but est d'avoir un maximum de faces non superposables ?

Dans ce cas, dès n=3, je peux obtenir 6 faces non-superposables.

Désolé pour l'aspect un peu applati du carré ci dessous :-p



Verification de la superposabilité. je suis parti du principe que les faces sont des objets mathématiques sans épaisseur. Conséquence, on peut "retourner la face" pour la superposer. Autre façon de voir les choses, le reflet dans le miroir est toujours superperposable à l'original.

Pour faciliter la vérification, j'introduis une nomenclature RJB des faces.

RJB pour la couleur des arêtes parcourues dans l'ordre, rjb pour les sommets rencontrés.

On garantit l'unicité de la description en choisissant le point de départ et le sens de parcours qui maximisent les nombre de R en début de chaîne, puis le nombre de J, puis si braiment il le faut, le nombre de B, de r, de j, de b.

Deux faces sont alors superposables ssi leur descriptions sont égales.

Notre carré donne :

A=RjRjBrBj (palindrome)
B=RjRjRbJb (palindrome)
C=RbRjBrBj (palindrome)
D=RbJbJrBj (chiral)
E=BrBjBrBj (palindrome)
F=RjRbJrBj (chiral)

On a bien 6 faces non superposables.

Ok, et du coup, avec la superposition sans retournement/miroir ma figure marche aussi.

On a bien 6 faces distinctes dès n=3.

Ensuite pour le (2), le but est d'avoir au plus 2 éléments parmi 8 qui ont la même couleur ?

OK, maintenant que j'ai relu ca me parait clair.
(en fait, je ne sais pas pourquoi, j'imaginais n>=7 avec une seule répétition parmis les 8)

Je tente une idée:
(1) Nous pouvons nommer [latex]E[/latex] le sous ensemble de[latex] [|1,n|]^8[/latex] tel que [latex](a_1,\dots , a_8) \in E[/latex] si et seulement si [latex]
a_i \neq a_{i+1}
[/latex] pour tout [latex]i[/latex] (avec la convention [latex]a_9=a_1[/latex]).
Alors [latex]\mathbb{Z} / 4\mathbb{Z}[/latex] agit sur [latex]E[/latex], et on cherche le nombre d'orbites.
Le fixateur de [latex]\overline{1}[/latex] ainsi que celui de [latex]\overline{3}[/latex] sont de cardinal [latex]n(n-1)[/latex].
Celui de [latex]\overline{2}[/latex] est de [latex]n(n-1)^2 + n(n-1)(n-2)^2[/latex].
D'après la formule de Burnside, le nombre total d'orbites est donc égal à
[TeX]
\[
\frac{n(n-1)(n+1) + n(n-1)(n-2)^2 + \text{Card}(E)}{4}
\]
[/TeX]
Pour le cardinal de [latex]E[/latex] je ne suis pas sur, j'ai trouvé [latex]n(n-1)^7 - n((n-1)(n-2)^5 + 4(n-1)^2(n-2)^3 + 3(n-1)^3(n-2))[/latex]
mais c'est à vérifier!
Pour les premières valeurs j'obtiens alors:
2 pour [latex]n=2[/latex]
72 pour [latex]n = 3[/latex]
1668 pour [latex]n = 4[/latex]


Pour le (2), est-ce c'est une seule couleur qui a le droit d'apparaitre deux fois? Par exemple, est-ce qu'une face avec deux arêtes rouges et deux arêtes bleues est autorisée? Ou est-ce que toutes les zones doivent être de couleurs différentes, à l'exception de éventuellement deux zones? (Dans ce cas, il faudrait au moins 7 couleurs pour peindre une face)

J'ai corrigé le (1) et donné des valeurs numériques pour les premiers cas.

Pour le (2), je commence par compter le nombre de facon de colorier une face, sans prendre en compte les redondances dues aux rotations.
Si toutes les zones sont de couleurs distinctes, j'ai [latex]n(n-1)\dots (n-7)[/latex] choix.
Si il y a exactement une paire d'une meme couleur, j'ai [latex]20n(n-1)\dots (n-6)[/latex] choix.
Si il y a exactement deux paires de la même couleur, j'en ai [latex]110n(n-1)\dots (n-5)[/latex].
Pour trois paires, cela m'en fait [latex]164n(n-1)\dots (n-4)[/latex].
Enfin, quatre paires m'en donnent [latex]31n(n-1)(n-2)(n-3)[/latex].

A ce nombre je rajoute le fixateur de [latex]\overline{2}[/latex] qui est de cardinal [latex]n(n-1)(n-2)(n-3)[/latex].
Et je divise par 4, l'order du groupe qui agit.

J'obtiens en conséquence la formule
[TeX]\[
\frac{n^8 - 8 n^7 + 12 n^6 + 54 n^5 - 189 n^4 + 146 n^3 + 80 n^2 - 96 n
}{4}
\][/TeX]
qui me donne pour [latex]n=4[/latex] la valeur 192
et pour [latex]n=5[/latex] la valeur 5880.

Merci aux participants , spécialement pour Spirou qui s'est fortement impliqué.
Pour les questions 1 et 2, ses résultats rejoignent les miens pour les cas hyper-simples.
Je laisse le soin aux matheux de vérifier ses généralisations.